一元线性回归的回归参数和迭代次数变化曲线

一元线性回归的回归参数是指拟合直线的斜率和截距，通常使用最小二乘法求解。迭代次数则是指训练模型时进行参数更新的次数。一般情况下，迭代次数越多，回归参数越趋于稳定。

下面是一元线性回归的回归参数和迭代次数变化曲线的示例：


在上图中，横轴表示迭代次数，纵轴表示回归参数的值。可以看到，在前期迭代次数较少时，回归参数的值较不稳定，随着迭代次数的增加，回归参数的值逐渐稳定下来。在迭代次数较大时，回归参数的值基本上不再发生明显的变化。

需要注意的是，回归参数和迭代次数的变化曲线可能会因数据集、模型选择和参数调整等因素而有所不同。

相关问题

实现一元线性回归；画出散点图、回归参数与迭代次数的变化曲线

好的，我可以帮你实现一元线性回归并画出相应的图形。

首先，让我们导入必要的库和数据集。这里我们使用scikit-learn的波士顿房价数据集，它包含房屋价格以及一些相关的特征。

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_boston
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# 加载数据集
boston = load_boston()

# 取出房价和房间数量两个特征
X = boston.data[:, 5]
y = boston.target

接下来，我们需要定义一个代价函数和梯度下降函数。在这里，我们使用最小二乘法作为代价函数，使用批量梯度下降法进行训练。

# 定义代价函数
def compute_cost(X, y, theta):
    m = len(y)
    predictions = X.dot(theta)
    cost = (1/2*m) * np.sum(np.square(predictions-y))
    return cost

# 定义梯度下降函数
def gradient_descent(X, y, theta, learning_rate, num_iterations):
    m = len(y)
    cost_history = np.zeros(num_iterations)
    theta_history = np.zeros((num_iterations, 2))
    
    for i in range(num_iterations):
        predictions = X.dot(theta)
        theta = theta - (1/m) * learning_rate * (X.T.dot(predictions-y))
        theta_history[i,:] = theta.T
        cost_history[i] = compute_cost(X, y, theta)
        
    return theta, cost_history, theta_history

接下来，我们需要对数据进行预处理，包括添加一列常数1，将数据集分为训练集和测试集。

# 添加一列常数1
X = np.c_[np.ones((len(X), 1)), X]
# 将数据集分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

然后，我们需要初始化模型参数theta，并设定学习率和迭代次数。

# 初始化模型参数theta
theta = np.random.randn(2,1)

# 设定学习率和迭代次数
learning_rate = 0.01
num_iterations = 1000

现在，我们可以使用梯度下降算法来训练模型。

theta, cost_history, theta_history = gradient_descent(X_train, y_train, theta, learning_rate, num_iterations)

最后，我们可以使用训练好的模型对测试集进行预测，并计算模型的均方误差。

# 使用模型进行预测
predictions = X_test.dot(theta)

# 计算模型的均方误差
mse = np.mean(np.square(predictions-y_test))
print("均方误差：", mse)

接下来，我们可以绘制出散点图和回归直线，并画出回归参数与迭代次数的变化曲线。

# 绘制散点图和回归直线
plt.scatter(X_test[:,1], y_test)
plt.plot(X_test[:,1], predictions, color='red')
plt.xlabel('房间数量')
plt.ylabel('房价')
plt.show()

# 绘制回归参数与迭代次数的变化曲线
plt.plot(range(num_iterations), cost_history)
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('代价函数值')
plt.show()

下面是完整代码：

一元线性回归最小二乘法参数推导

一元线性回归的目标是找到一条直线来拟合数据，使得拟合线距离数据点的误差最小化。最小二乘法是一种常见的用来求解线性回归参数的方法。

假设我们有一组数据集合 {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中 xi 是自变量，yi 是因变量。一元线性回归模型可以表示为 y = β0 + β1*x，其中 β0 和 β1 是待求的参数。

最小二乘法的目标是找到使得误差平方和最小化的参数值。我们定义误差 e = y - (β0 + β1*x)，其中 e 是实际值与预测值之间的差异。我们将误差平方和定义为损失函数，即 L = ∑(e^2) = ∑((y - (β0 + β1*x))^2)。我们的目标是最小化损失函数 L。

为了求解最小二乘法的参数，我们需要对损失函数 L 进行优化。我们可以通过对 β0 和 β1 分别求导，令导数为 0，从而得到参数的闭式解。

首先对 β0 求导：
∂L/∂β0 = -2∑(y - (β0 + β1*x))
令导数为 0，得到：
∑y - n*β0 - β1*∑x = 0
解出 β0，得到：
β0 = (∑y - β1*∑x)/n

然后对 β1 求导：
∂L/∂β1 = -2∑x(y - (β0 + β1*x))
令导数为 0，得到：
∑xy - β0*∑x - β1*∑(x^2) = 0
将 β0 的值代入上式，得到：
∑xy - (∑y - β1*∑x)/n * ∑x - β1*∑(x^2) = 0
整理后可得：
∑xy - (∑x*∑y)/n = β1*(∑(x^2) - (∑x)^2/n)
解出 β1，得到：
β1 = (∑xy - (∑x*∑y)/n) / (∑(x^2) - (∑x)^2/n)
至此，我们得到了一元线性回归最小二乘法的参数推导。