假设你每天坐公交车上班,你可以选择乘坐 1路公交车或者 2路公交车,每路公交车都是10分钟有一班到达你的公交站,你到公交站的时间是随机的,在某个时间段内遵循平均分布,请问你平均候车时间是多久?
时间: 2024-06-06 08:08:15 浏览: 179
假设你到公交站的时间在该时间段内是均匀分布的,则你到达公交站的时间是一个随机变量,记为X,X的概率密度函数为f(x)。因为每路公交车都是10分钟有一班到达,所以你等待的时间也是一个随机变量,记为Y,Y的概率密度函数为g(y)。
根据全期望公式,可以得到:
E(Y) = E(Y|X) * f(x)dx
其中E(Y|X)表示在你到达公交站的时间为X时,你等待公交车的期望时间,因为每路公交车都是10分钟有一班到达,所以E(Y|X) = 5分钟。因为X是均匀分布的,所以f(x) = 1/T,其中T是时间段的长度。因此,可以得到:
E(Y) = ∫[0,T] E(Y|X) * f(x)dx = ∫[0,T] 5 * (1/T)dx = 5 * T/T = 5
因此,你的平均候车时间是5分钟。
相关问题
已1路和2路公交车都将在十分钟内均匀随机的到达同意车站,则他们相隔四分钟内到达的概率是多少
假设1路公交车到达时间的分布服从均匀分布,其到达时间在0-10分钟内是等可能的,同样假设2路公交车的到达时间也是服从均匀分布的。因此,1路和2路公交车到达时间的概率密度函数都是$f(x)=\frac{1}{10}$,其中$x$表示到达时间。
现在我们需要计算1路和2路公交车相隔4分钟内到达的概率。可以用以下方法计算:
- 首先,我们需要确定两个公交车中到达时间早的那辆车的到达时间$t_1$。这个时间应该在0到6分钟之间,因为如果早于0分钟或晚于6分钟,那么两个公交车相隔4分钟内到达的概率就是0。
- 然后,我们需要确定两个公交车中到达时间晚的那辆车的到达时间$t_2$。这个时间应该在$t_1+4$到10分钟之间,因为如果晚于10分钟,那么两个公交车相隔4分钟内到达的概率就是0。
- 最后,我们需要计算两个公交车到达时间在$t_1$和$t_2$之间的概率,即$\int_{t_1}^{t_2}f(x)dx=\frac{1}{10}(t_2-t_1)$。
因此,我们可以得到两个公交车相隔4分钟内到达的概率为:
$$P=\frac{1}{6}\int_{0}^{6}\int_{t_1+4}^{10}f(t_1)f(t_2)dt_2dt_1=\frac{1}{75}$$
因此,两个公交车相隔四分钟内到达的概率是$\frac{1}{75}$。
以1路和2路公交车都将在10分钟内均匀随机地到达同一车站,则它们相隔4分钟内到达该站的概率为
它们相隔4分钟内到达该站的概率可以通过计算它们不相隔4分钟内到达该站的概率来得到。
假设1路公交车到达该车站的时间服从0-10分钟的均匀分布,2路公交车到达该车站的时间也服从0-10分钟的均匀分布,且两者是独立的,则它们不相隔4分钟内到达该站的概率可以分为以下三种情况:
1. 1路公交车和2路公交车都在前4分钟内到达该站。
2. 1路公交车和2路公交车都在后6分钟内到达该站。
3. 1路公交车和2路公交车一个在前4分钟内到达该站,另一个在后6分钟内到达该站。
对于第一种情况,1路公交车到达时间在0-4分钟内,2路公交车到达时间也在0-4分钟内,因此其概率为:
$$P_1=\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{4}{25}$$
对于第二种情况,1路公交车到达时间在4-10分钟内,2路公交车到达时间也在4-10分钟内,因此其概率为:
$$P_2=\frac{6}{10}\times\frac{6}{10}=\frac{18}{50}$$
对于第三种情况,1路公交车到达时间在0-4分钟内,2路公交车到达时间在4-10分钟内,或者1路公交车到达时间在4-10分钟内,2路公交车到达时间在0-4分钟内,因此其概率为:
$$P_3=2\times\frac{4}{10}\times\frac{6}{10}=\frac{12}{25}$$
因此,不相隔4分钟内到达该站的概率为:
$$P=P_1+P_2+P_3=\frac{34}{50}$$
相隔4分钟内到达该站的概率为:
$$1-P=1-\frac{34}{50}=\frac{8}{25}$$
因此,它们相隔4分钟内到达该站的概率为 $\frac{8}{25}$。