求下列矩阵的特征值与特征向量A=[1,-2,-4;-2,4,-2;-4,-2,1]

要求矩阵A的特征值和特征向量，可以按照以下步骤进行：

1. 求解矩阵A的特征多项式：det(A-λI)，其中I是单位矩阵，λ是一个待求的常数。

det(A-λI)=|1-λ,-2,-4;-2,4-λ,-2;-4,-2,1-λ|

=(1-λ)|4-λ,-2;-2,1-λ|+2|-2,-4;-4,1-λ|

=(1-λ)[(4-λ)(1-λ)-(-2)(-2)]+2[(-2)(1-λ)-(-4)(-2)]

=(1-λ)(λ^2-6λ-7)-16

=λ^3-7λ^2-8λ+1

2. 求解特征多项式的根，即矩阵A的特征值。

将特征多项式化简为(λ-1)(λ-4)(λ+1)，所以矩阵A的特征值为1，4和-1。

3. 求解每个特征值对应的特征向量。

对于特征值λ=1，解方程组(A-λI)x=0得到：

|0,-2,-4;-2,3,-2;-4,-2,0|x=|0|

化简得到x1=2x2+2x3，其中x2和x3是自由变量。因此，特征向量可以表示为：

v1=[1;0;-1]

对于特征值λ=4，解方程组(A-λI)x=0得到：

|-3,-2,-4;-2,0,-2;-4,-2,-3|x=|0|

化简得到x1=-x2-x3，其中x2和x3是自由变量。因此，特征向量可以表示为：

v2=[1;-2;1]

对于特征值λ=-1，解方程组(A-λI)x=0得到：

|2,-2,-4;-2,5,-2;-4,-2,2|x=|0|

化简得到x1=x2-x3，其中x2和x3是自由变量。因此，特征向量可以表示为：

v3=[1;1;-1]

因此，矩阵A的特征值为1，4和-1，对应的特征向量分别为v1=[1;0;-1]，v2=[1;-2;1]，v3=[1;1;-1]。