$$ cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |} $$ ，这是什么公式

这是向量的余弦定理，用于计算两个向量之间的夹角。其中，$\vec{a} \cdot \vec{b}$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\left | \vec{a} \right |$和$\left | \vec{b} \right |$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模长。

相关问题

已知直线l：3x+4y-40=0,点A(-1,5), 点B(-2,-2)，点C（5，5），若p是三角形ABC外接圆上的一点，则点p到直线l的距离的取值范围是(

首先，我们需要求出三角形ABC的外接圆的圆心和半径。可以通过以下步骤求解：

1. 求出AB、AC、BC三条边的中垂线，交点即为三角形ABC的外心O。

由于直线AB的斜率为 $\frac{5-(-2)}{-1-(-2)}=7$，所以AB的中垂线的斜率为 $-\frac{1}{7}$，过AB中点的中垂线方程为 $y-1=\frac{-1}{7}(x+0.5)$。

同理，AC的中垂线方程为 $y-5=\frac{1}{3}(x-2)$，BC的中垂线方程为 $y=\frac{5}{2}$。

将上述三条直线两两相交，解得它们的交点坐标分别为 $O(-\frac{7}{6},\frac{11}{6})$、$O_1(\frac{17}{6},\frac{11}{6})$ 和 $O_2(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。

2. 求出点O到点A的距离，即为外接圆的半径。

$$
\begin{aligned}
OA &= \sqrt{(-\frac{7}{6}+1)^2+(\frac{11}{6}-5)^2}\\
&=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{1}{9}}\\
&=\frac{2\sqrt{10}}{3}
\end{aligned}
$$

因此，外接圆的圆心为 $O(-\frac{7}{6},\frac{11}{6})$，半径为 $\frac{2\sqrt{10}}{3}$。

接下来，我们需要求出点P到直线l的距离。可以通过以下公式求解：

$$
d=\frac{|3x_p+4y_p-40|}{5}
$$

其中，$(x_p,y_p)$为点P的坐标。

由于点P在外接圆上，所以点P到圆心O的距离等于圆的半径。因此，我们可以将点P的坐标表示为 $(x_p,y_p)=(r\cos\theta-\frac{7}{6},r\sin\theta+\frac{11}{6})$，其中$r=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，$\theta$为点P在圆上的极角。

将上述坐标代入上式，得到点P到直线l的距离的表达式为：

$$
d=\frac{|3(r\cos\theta-\frac{7}{6})+4(r\sin\theta+\frac{11}{6})-40|}{5}
$$

化简得：

$$
d=\frac{|3r\cos\theta+4r\sin\theta-17|}{5}
$$

将 $3r\cos\theta+4r\sin\theta$ 表示为向量 $\vec{OP}$ 在直线l上的投影长度，即：

$$
3r\cos\theta+4r\sin\theta=|\vec{OP}|\cdot\frac{3}{5}
$$

因此，我们可以将上式代入原式，得到：

$$
d=\frac{|\frac{3}{5}|\cdot|\vec{OP}|-17}{5}
$$

由于点P在圆上，所以 $|\vec{OP}|\leq r=\frac{2\sqrt{10}}{3}$。因此，最小值为：

$$
d=\frac{\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{10}}{3}-17}{5}=-\frac{4\sqrt{10}}{15}
$$

最大值为：

$$
d=\frac{\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt{10}}{3}+17}{5}=\frac{23}{15}
$$

因此，点P到直线l的距离的取值范围是 $[-\frac{4\sqrt{10}}{15},\frac{23}{15}]$。

计算曲面积分 I= ∫ ∫(z+xy^2)dydz+(yz^2+ xz)dxdz+(x^2+y^2)dxby 其中S为球面 x^2+y^2+z^2=a^2的外侧,a大于0

好的，让我来回答你的问题。

首先，我们需要确定曲面的参数方程。由于曲面为球面的外侧，我们可以使用球坐标系来描述曲面。球坐标系的参数表示为 $(\rho,\theta,\phi)$ ，其中 $\rho$ 表示点到坐标原点的距离， $\theta$ 表示点在 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 轴正半轴之间的夹角， $\phi$ 表示点与 $z$ 轴正半轴之间的夹角。

因此，球面的参数方程为 $x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$。

接下来，我们需要计算曲面元素 $dS$。在球坐标系下，曲面元素可以表示为 $dS=\rho^2\sin\phi d\phi d\theta$。

现在，我们可以将曲面积分转化为三重积分。根据公式，曲面积分可以表示为：

$$I=\int_{\phi=0}^{\phi=\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}f(x,y,z)\cdot(\vec{n}\cdot\vec{k})\cdot\rho^2\sin\phi d\theta d\phi$$

其中， $f(x,y,z)$ 表示被积函数， $\vec{n}$ 表示曲面的法向量， $\vec{k}$ 表示 $z$ 轴正方向的单位向量。

根据题目所给的被积函数，我们可以得到：

$$f(x,y,z)=(z+xy^2)dydz+(yz^2+xz)dxdz+(x^2+y^2)dx$$

将球面的参数方程代入 $f(x,y,z)$ 中，可以得到：

$$f(x,y,z)=(a\cos\phi+a^2\sin\phi\cos\theta\sin^2\phi)\cdot(a^2\sin\phi\cos\theta\sin\phi)\cdot a^2\sin\phi$$

$$+(a^2\sin\phi\sin\theta\cos\phi+a^2\cos\phi\sin\phi)\cdot(a^2\cos\phi)\cdot(-a\sin\phi\sin\theta)$$

$$+(a^2\sin^2\phi+a^2\sin^2\phi\sin^2\theta)\cdot(a\sin\phi\cos\theta)\cdot a\sin\phi\sin\theta$$

化简后得到：

$$f(x,y,z)=a^5\sin^4\phi\cos\theta+a^5\sin^3\phi\cos^2\theta\sin\phi-a^4\sin^4\phi\cos\phi\sin\theta$$

再求出曲面的法向量，可以得到：

$$\vec{n}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial\theta}=-a^2\sin^2\phi\cos\theta\vec{i}-a^2\sin^2\phi\sin\theta\vec{j}+a^2\sin\phi\cos\phi\vec{k}$$

将 $\vec{n}$ 和 $\vec{k}$ 的点积代入公式中，可以得到：

$$\vec{n}\cdot\vec{k}=a^2\sin\phi\cos\phi$$

最终，曲面积分可以表示为：

$$I=\int_{\phi=0}^{\phi=\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}(a^7\sin^5\phi\cos^2\theta+a^7\sin^4\phi\cos\theta\sin^2\phi-a^6\sin^5\phi\cos\phi\sin\theta)\sin\phi d\theta d\phi$$

通过计算，可以得到最终的结果为：

$$I=\frac{8}{15}a^7\pi$$

希望我的回答能够帮助到你，如果你有其他问题，欢迎继续提问！