双边功率谱密度和单边功率谱密度_以高斯信号为例，计算幅度谱、相位谱、双边功率谱、双边功率谱密度、单边功率谱、单边功率谱密度

以高斯信号为例，假设其为：

$x(t) = A \cdot e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi)$

其中，$A$为信号幅度，$\sigma$为高斯信号的标准差，$f_0$为信号频率，$\phi$为初始相位。

根据傅里叶变换的定义，可以得到该高斯信号的频域表达式：

$X(f) = \frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(f-f_0)^2\sigma^2}{2}} e^{j\phi}$

根据幅度谱和相位谱的定义，可以得到该高斯信号的幅度谱和相位谱：

$|X(f)| = \frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(f-f_0)^2\sigma^2}{2}}$

$\angle X(f) = \phi$

根据双边功率谱密度的定义，可以得到该高斯信号的双边功率谱密度：

$S_{XX}(f) = |X(f)|^2 = \frac{A^2\sigma^2}{2\pi} e^{-\sigma^2(f-f_0)^2}$

根据双边功率谱的定义，可以得到该高斯信号的双边功率谱：

$P_{XX}(f) = S_{XX}(f) \cdot \Delta f$

其中，$\Delta f$为频率间隔。

根据单边功率谱密度的定义，可以得到该高斯信号的单边功率谱密度：

$S_{XX}^{'}(f) = \begin{cases}2S_{XX}(f) & f \ge 0 \\ 0 & f < 0 \end{cases}$

根据单边功率谱的定义，可以得到该高斯信号的单边功率谱：

$P_{XX}^{'}(f) = S_{XX}^{'}(f) \cdot \Delta f$