一维非定常热传导方程有限差分法使用BTCS格式

一维非定常热传导方程可以表示为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$是温度分布，$\alpha$是热扩散系数。

使用BTCS格式进行有限差分：

$$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}$$

其中，$u_i^n$表示在位置$x_i$和时间$t_n$处的温度值，$\Delta x$和$\Delta t$分别为空间和时间步长。

整理得到：

$$-\frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i-1}^{n+1} + \left(1 + \frac{2\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}\right)u_i^{n+1} -\frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i+1}^{n+1} = u_i^n$$

可以看到，该方程是一个三对角矩阵方程，可以使用追赶法等方法求解。

相关问题

一维非定常热传导方程有限差分法使用BTCS格式python

以下是使用BTCS格式求解一维非定常热传导方程的Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置模拟参数
L = 1.0  # 杆的长度
T = 1.0  # 总时间
alpha = 1.0  # 热扩散系数
dx = 0.01  # 空间步长
dt = 0.001  # 时间步长

# 设置初始条件
x = np.arange(0, L+dx, dx)
T0 = np.sin(np.pi*x)
T = T0.copy()

# 设置边界条件
T[0] = T[-1] = 0

# 设置离散化系数
r = alpha*dt/dx**2

# 构建系数矩阵
A = np.zeros((len(x)-2, len(x)-2))
A[0, 0] = 1 + 2*r
A[0, 1] = -r
for i in range(1, len(x)-3):
    A[i, i-1] = -r
    A[i, i] = 1 + 2*r
    A[i, i+1] = -r
A[-1, -2] = -r
A[-1, -1] = 1 + 2*r

# 迭代求解
for n in range(int(T/dt)):
    b = T[1:-1]
    b[0] += r*T[0]
    b[-1] += r*T[-1]
    T[1:-1] = np.linalg.solve(A, b)

# 绘图
plt.plot(x, T0, label='Initial T')
plt.plot(x, T, label='Final T')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('T')
plt.legend()
plt.show()

其中，系数矩阵A和右侧向量b的构建采用了稀疏矩阵的方法，可以提高求解效率。在每个时间步长内，先将边界条件用一阶差分格式更新，再使用线性方程组求解器求解离散化的方程组。最终得到的结果如下图所示：