x/y^2(1-x/y)的极值如何计算

这是一个关于 x 和 y 的函数，我们可以先对 x 进行求导，然后令导数等于 0，从而求出 x 的临界点，再将临界点代入原函数求出极值。

首先对 x 求偏导数：

∂/∂x [x/y^2(1-x/y)] = 1/y^2(1-x/y) - x/y^3(1-x/y)^2 * (-1/y)

化简得：

∂/∂x [x/y^2(1-x/y)] = 1/y^2(1-x/y) + x/y^3(1-x/y)^2 * 1/y

令导数等于 0，得到：

1/y^2(1-x/y) + x/y^3(1-x/y)^2 * 1/y = 0

化简得：

y-x=0 或 y^2 = x(1-x/y)

对于 y-x=0，我们可以得到一个临界点 (x, y) = (0, 0)，但是该点不在定义域内，因此我们只考虑 y^2 = x(1-x/y)。

将 y^2 = x(1-x/y) 代入原函数，得到：

f(x) = x/y^2(1-x/y) = x/(x-y)^2(1-x/(x-y))

接下来我们对 f(x) 求导：

f'(x) = (x-y)^{-2} * (1-x/(x-y)) - x/(x-y)^2 * (1/(x-y))^2 * (-1/(x-y))

化简得：

f'(x) = (x-y)^{-2} * (1-x/(x-y)) + x/(x-y)^3

令导数等于 0，得到：

(x-y)^3 - x(1-x/(x-y)) = 0

化简得：

x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3 = 0

这是一个三元三次方程，可以使用牛顿迭代法求解。求解出 x 的值后，将 x 代入 y^2 = x(1-x/y) 中，解出 y 的值。最后再将 (x, y) 代入原函数，即可求出极值。