x/y^2(1-x/y)的极值如何计算
时间: 2024-05-23 15:13:08 浏览: 10
这是一个关于 x 和 y 的函数,我们可以先对 x 进行求导,然后令导数等于 0,从而求出 x 的临界点,再将临界点代入原函数求出极值。
首先对 x 求偏导数:
∂/∂x [x/y^2(1-x/y)] = 1/y^2(1-x/y) - x/y^3(1-x/y)^2 * (-1/y)
化简得:
∂/∂x [x/y^2(1-x/y)] = 1/y^2(1-x/y) + x/y^3(1-x/y)^2 * 1/y
令导数等于 0,得到:
1/y^2(1-x/y) + x/y^3(1-x/y)^2 * 1/y = 0
化简得:
y-x=0 或 y^2 = x(1-x/y)
对于 y-x=0,我们可以得到一个临界点 (x, y) = (0, 0),但是该点不在定义域内,因此我们只考虑 y^2 = x(1-x/y)。
将 y^2 = x(1-x/y) 代入原函数,得到:
f(x) = x/y^2(1-x/y) = x/(x-y)^2(1-x/(x-y))
接下来我们对 f(x) 求导:
f'(x) = (x-y)^{-2} * (1-x/(x-y)) - x/(x-y)^2 * (1/(x-y))^2 * (-1/(x-y))
化简得:
f'(x) = (x-y)^{-2} * (1-x/(x-y)) + x/(x-y)^3
令导数等于 0,得到:
(x-y)^3 - x(1-x/(x-y)) = 0
化简得:
x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3 = 0
这是一个三元三次方程,可以使用牛顿迭代法求解。求解出 x 的值后,将 x 代入 y^2 = x(1-x/y) 中,解出 y 的值。最后再将 (x, y) 代入原函数,即可求出极值。
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