给出纳维斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明

由于纳维斯托克斯方程非线性且具有高阶偏导数项，因此其解的存在性和光滑性是相对困难的问题。目前仍然存在一些未解决的问题，例如3维纳维斯托克斯方程的解的全局存在性和光滑性问题。

针对2维纳维斯托克斯方程，存在一个著名的Leray-Hopf定理，证明了其解的存在性。该定理的基本思想是通过考虑差分算子的逆，将原方程转化为紧致算子的形式，然后利用逆算子的紧致性和柯西-黎曼方程的特殊结构，得到解的存在性。

要证明解的光滑性，需要更多的工具和技巧。一般来说，光滑性的证明需要详细的分析和研究方程的特性，例如对称性、估计等。对于纳维斯托克斯方程的解光滑性问题，目前已经有一些重要的理论结果，例如对于光滑初值，解的存在时间可以是任意长的，且解是光滑的。但在一般情况下，仍然存在一些困难和挑战。