动态规划矩阵连乘问题C++算法

1. 定义状态：设 $dp[i][j]$ 表示第 $i$ 个矩阵到第 $j$ 个矩阵的最小乘法次数。

2. 状态转移方程：对于每一组左右区间 $[i,j]$，枚举中间断点 $k$，将左右区间分为两个子问题，即 $[i,k]$ 和 $[k+1,j]$，则有：

$$dp[i][j]=\min_{i\leq k<j}\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+p_{i-1}p_kp_j\}$$

其中 $p_{i-1}$ 表示第 $i-1$ 个矩阵的行数，$p_j$ 表示第 $j$ 个矩阵的列数，$p_k$ 表示第 $k$ 个矩阵的列数。

3. 边界条件：当 $i=j$ 时，$dp[i][j]=0$。

4. 最终答案：$dp[1][n]$。

5. 时间复杂度：$O(n^3)$。

代码实现如下：

相关问题

动态规划矩阵连乘问题c++

动态规划矩阵连乘问题可以使用动态规划算法来解决。具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小乘法次数。然后，可以使用以下递推式来计算dp数组的值：

dp[i][j] = min{dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]} (i <= k < j)

其中，p数组表示矩阵的维度，p[i-1]和p[j]表示第i个矩阵和第j个矩阵的行数和列数。

最终的答案即为dp[n]，其中n为矩阵的个数。

以下是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int matrixChainOrder(vector<int>& p) {
    int n = p.size() - 1;
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(n+1, 0));
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n-len+1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INT_MAX;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]);
            }
        }
    }
    return dp[1][n];
}

int main() {
    vector<int> p = {10, 30, 5, 60};
    cout << matrixChainOrder(p) << endl; // 输出：4500
    return 0;
}

C++编程实现5个矩阵连乘问题的动态规划算法

在C++编程中，使用动态规划解决矩阵连乘问题通常涉及到二维数组的递归计算，因为矩阵连乘本质上是一个优化版的递归过程。动态规划在这里主要用于避免重复计算，通过保存中间结果来提高效率。以下是基本步骤：

1. 定义状态：设dp[i][j][k]表示前i个矩阵乘积后的第j行和第k列的元素。

2. 状态转移方程：对于给定的三个矩阵A、B和C，其连乘可以表示为 dp[i][j][k] = A[i-1] * dp[i-1][j][l] (其中l为B[j][k]对应的位置)，即当前乘法的结果等于上一次乘法的结果再与A的最后一行相乘。

3. 初始化：dp[0][j][k] = B[j][k]，因为当只有一个矩阵时，结果就是这个矩阵本身。

4. 边界条件：dp[i][j][k] 只有在 i <= m, j <= n, k <= p 的范围内有意义，其中m、n和p分别是每个矩阵的行数和列数。

5. 回溯求解：从dp[m][n][p]开始，向上回溯，逐步计算出所有矩阵的乘积。

6. 最终结果：dp[m][n][p] 就是最终的矩阵乘积。

下面是简单的伪代码示例：

int** dp; // 用于存储中间结果的二维数组
...
for(int i = 1; i < matrix_count; ++i) {
    for(int j = 0; j < matrices[i].rows; ++j) {
        for(int k = 0; k < matrices[0].columns; ++k) {
            for(int l = 0; l < matrices[i-1].columns; ++l) {
                dp[i][j][k] += dp[i-1][j][l] * matrices[i][j][k]; // 相应位置的乘积
            }
        }
    }
}