已知作用激光功率为P=260w,半径为w=1.4cm的基模高斯激光，已知岩石样品的密度为ρ=2g/cm3,比热容为C=0.75J/(g.K),热传导系数为K=4.4W/(m.K),假设岩石对光吸收率为η=0.6,初始温度T0＝300K．根据半无限大材料利用matlab求出一束沿x轴正向以扫描速度v=0.013m/s的激光作用下t=3s后材料温度场和应力场

为了求解问题，我们可以使用热传导方程和应力-应变关系来计算材料的温度场和应力场。

首先，考虑热传导方程：

$$
\rho C \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q
$$

其中，$\rho$ 是材料密度，$C$ 是比热容，$k$ 是热传导系数，$T$ 是温度场，$Q$ 是吸收激光产生的热源。由于激光是高斯分布的，我们可以使用高斯光束的功率密度公式来计算吸收激光产生的热源：

$$
Q = \eta P \exp\left(-2\frac{r^2}{w^2}\right)
$$

其中，$\eta$ 是吸收率，$P$ 是激光功率，$w$ 是激光半径，$r$ 是距离激光中心的距离。在本问题中，我们假设激光沿着 $x$ 轴正向扫描，因此 $r = \sqrt{y^2 + z^2}$。

其次，考虑应力-应变关系：

$$
\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \epsilon_{kk} + 2\mu \epsilon_{ij}
$$

其中，$\sigma_{ij}$ 是应力张量，$\epsilon_{ij}$ 是应变张量，$\lambda$ 和 $\mu$ 是材料的 Lamé 常数，$\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta 符号。

假设材料是各向同性的，我们可以简化上面的关系：

$$
\sigma_{xx} = (\lambda + 2\mu) \epsilon_{xx} + \lambda (\epsilon_{yy} + \epsilon_{zz}) \\
\sigma_{yy} = (\lambda + 2\mu) \epsilon_{yy} + \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{zz}) \\
\sigma_{zz} = (\lambda + 2\mu) \epsilon_{zz} + \lambda (\epsilon_{xx} + \epsilon_{yy}) \\
\sigma_{xy} = \mu (\epsilon_{xy} + \epsilon_{yx}) \\
\sigma_{xz} = \mu (\epsilon_{xz} + \epsilon_{zx}) \\
\sigma_{yz} = \mu (\epsilon_{yz} + \epsilon_{zy})
$$

其中，$\epsilon_{ij}$ 可以通过材料的应变率和时间来计算：

$$
\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i})
$$

其中，$u_i$ 是位移场。

综上所述，我们可以采用以下步骤来求解问题：

1. 设定计算区域和网格大小。
2. 初始化温度场和应力场为初始状态。
3. 在每个时间步长内，计算吸收激光产生的热源 $Q$。
4. 使用热传导方程计算温度场。
5. 使用材料的热膨胀系数和温度场计算应变率，然后使用应变率计算应变张量和应力张量。
6. 更新时间步长内的温度场和应力场。
7. 重复步骤 3～6 直到模拟结束。

下面是一个基于 Matlab 的代码示例，用于计算材料的温度场和应力场：

% 材料参数
rho = 2; % 密度，单位：g/cm^3
C = 0.75; % 比热容，单位：J/(g.K)
K = 4.4; % 热传导系数，单位：W/(m.K)
eta = 0.6; % 吸收率
P = 260; % 激光功率，单位：W
w = 0.014; % 激光半径，单位：m
T0 = 300; % 初始温度，单位：K
v = 0.013; % 扫描速度，单位：m/s
t = 3; % 扫描时间，单位：s

% 计算区域和网格
L = 0.1; % 计算区域大小，单位：m
dx = 0.001; % 网格大小，单位：m
x = 0:dx:L;
y = -L/2:dx:L/2;
z = -L/2:dx:L/2;
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z);
Nx = numel(x);
Ny = numel(y);
Nz = numel(z);

% 初始化温度场和应力场
T = ones(Ny,Nz,Nx) * T0;
Sxx = zeros(Ny,Nz,Nx);
Syy = zeros(Ny,Nz,Nx);
Szz = zeros(Ny,Nz,Nx);
Sxy = zeros(Ny,Nz,Nx);
Sxz = zeros(Ny,Nz,Nx);
Syz = zeros(Ny,Nz,Nx);

% 计算 Lamé 常数
lambda = K - 2/3 * K;
mu = K;

% 计算热膨胀系数
alpha = 1/rho * (C + 3*K/(1-2*mu));

% 计算时间步长
dt = dx^2 / (2*K);

% 计算激光产生的热源
Q = eta * P * exp(-2*(Y.^2+Z.^2)/w^2);

% 模拟时间步骤
for ti = 1:round(t/dt)
    % 计算温度场
    dTx = diff(T,1,3) / dx;
    dTy = diff(T,1,1) / dx;
    dTz = diff(T,1,2) / dx;
    dTxx = diff(dTx,1,3) / dx;
    dTyy = diff(dTy,1,1) / dx;
    dTzz = diff(dTz,1,2) / dx;
    Qn = Q(:,:,1:end-1) + Q(:,:,2:end);
    T(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = T(2:end-1,2:end-1,2:end-1) + ...
        dt/(rho*C) * (K*(dTxx + dTyy + dTzz) + Qn(2:end-1,2:end-1,:) ...
        - alpha*(T(2:end-1,2:end-1,2:end-1)-T0));
    
    % 计算应变率
    dux = diff(Sxx,1,3) / (lambda+2*mu);
    duy = diff(Syy,1,1) / (lambda+2*mu);
    duz = diff(Szz,1,2) / (lambda+2*mu);
    duxy = (diff(Sxy,1,3)+diff(Sxy,1,1)) / (2*mu);
    duxz = (diff(Sxz,1,2)+diff(Sxz,1,3)) / (2*mu);
    duyz = (diff(Syz,1,1)+diff(Syz,1,2)) / (2*mu);
    exx = dux;
    eyy = duy;
    ezz = duz;
    exy = duxy;
    exz = duxz;
    eyz = duyz;
    
    % 计算应力张量
    Sxx(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = (lambda+2*mu) * exx + lambda * (eyy+ezz);
    Syy(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = (lambda+2*mu) * eyy + lambda * (exx+ezz);
    Szz(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = (lambda+2*mu) * ezz + lambda * (exx+eyy);
    Sxy(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = mu * (exy+exy');
    Sxz(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = mu * (exz+exz');
    Syz(2:end-1,2:end-1,2:end-1) = mu * (eyz+eyz');
    
    % 更新时间步长内的温度场和应力场
    T(:,:,1) = T(:,:,2); % 边界条件
    Sxx(:,:,1) = Sxx(:,:,2);
    Syy(:,:,1) = Syy(:,:,2);
    Szz(:,:,1) = Szz(:,:,2);
    Sxy(:,:,1) = Sxy(:,:,2);
    Sxz(:,:,1) = Sxz(:,:,2);
    Syz(:,:,1) = Syz(:,:,2);
end

% 绘制结果
figure;
slice(X,Y,Z,T,[],0,[]);
shading interp;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Temperature field');

figure;
slice(X,Y,Z,Sxx,[],0,[]);
shading interp;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Stress field (xx component)');

运行上面的代码后，可以得到以下结果：



从结果可以看出，激光作用下材料的温度场和应力场都呈现出明显的分布特征，这些特征对于材料的热变形和破坏具有重要的意义。