求模81的原根的详细过程

首先需要知道，如果一个数 $g$ 是模 $n$ 的原根，那么 $g^1, g^2, g^3, \ldots, g^{\varphi(n)}$ 构成了模 $n$ 的一个完全剩余系，其中 $\varphi(n)$ 表示 $n$ 的欧拉函数值。

现在考虑模 $81$，$\varphi(81) = 54$。我们需要找到一个数 $g$，使得 $g^1, g^2, g^3, \ldots, g^{54}$ 模 $81$ 互不相同。可以尝试暴力枚举 $g$，但这样时间复杂度过高。我们可以使用一些技巧来简化问题。

首先，因为 $3^4 = 81$，所以 $81$ 的所有原根都是模 $3^4$ 的原根。因此，我们可以首先找到模 $3$ 和模 $9$ 的原根，然后将它们合并，得到模 $81$ 的原根。

对于模 $3$，它只有两个剩余系 $\{0,1,2\}$，因此 $2$ 是模 $3$ 的原根。

对于模 $9$，它的欧拉函数值为 $\varphi(9) = 6$。我们可以尝试暴力枚举 $2^1, 2^2, \ldots, 2^6$，发现 $2^3 \equiv -1 \pmod{9}$，因此 $2$ 是模 $9$ 的原根。

现在我们需要将模 $3$ 和模 $9$ 的原根合并。根据中国剩余定理，我们只需要求出两个数 $x$ 和 $y$，使得 $x \equiv 2 \pmod{3}$，$x \equiv 1 \pmod{9}$，$y \equiv 1 \pmod{3}$，$y \equiv 2 \pmod{9}$。然后 $x$ 和 $y$ 的最小公倍数就是模 $81$ 的原根。

通过暴力枚举，我们可以得到 $x = 19$，$y = 65$。它们的最小公倍数为 $19 \times 65 = 1235$。因此，$1235$ 是模 $81$ 的原根。

需要注意的是，模 $81$ 的原根不是唯一的。如果你使用其他方法，可能会得到不同的原根。