六、有n张卡片排成一行，并且有n个不同的数字写在卡片上(每张卡片上一个)，使得卡片呈降序排列状态。现在允许你交换任何一对卡片的位置，只要它们之间只有一张卡片即可。对于什么样的n值，在这样一组操作序列以后，能使得卡片呈升序排列?如果这样n值存在的话，请设计使得交换次数最小的算法，并给出最小的交换次数是多少次。 本题分数 18 得分

这是一道经典的逆序对问题，可以使用归并排序的思想来解决。

对于一个长度为n的序列，如果它的逆序对个数是偶数，那么可以通过若干次相邻交换将其变为升序序列；如果逆序对个数是奇数，则无法通过交换得到升序序列。

具体来说，可以先使用归并排序统计出序列中的逆序对个数，然后根据逆序对个数的奇偶性来判断是否存在符合要求的交换序列。如果存在，则可以使用如下算法来进行最小化交换次数的操作：

1. 对于每个逆序对(i, j)，如果i和j之间只有一张卡片，则交换i和j的位置。
2. 重复执行步骤1，直到序列变为升序序列。

最小化交换次数的算法的正确性可以通过数学归纳法来证明，具体证明过程可以参考相关算法教材。

时间复杂度为O(nlogn)，因为归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。

相关问题

第8页(共8页)六、有n张卡片排成一行，并且有n个不同的数字写在卡片上(每张卡片上一个)，使得卡片呈降序排列状态。现在允许你交换任何一对卡片的位置，只要它们之间只有一张卡片即可。对于什么样的n 值，在这样一组操作序列以后，能使得卡片呈升序排列?如果这样n值存在的话，请设计使得交换次数最小的算法，并给出最小的交换次数是多少次。 本题分数 18 得分

当且仅当n为偶数时，存在一种交换操作序列，可以将降序排列的卡片变为升序排列。

对于最小交换次数，我们可以使用冒泡排序的思想，每次将相邻的逆序对交换，直到卡片排列变为升序为止。具体实现可以参考以下代码：

def min_swaps(nums):
    n = len(nums)
    swaps = 0
    for i in range(n):
        flag = False
        for j in range(n-i-1):
            if nums[j] > nums[j+1]:
                nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
                swaps += 1
                flag = True
        if not flag:
            break
    return swaps

时间复杂度为$O(n^2)$。

有n张卡片从左往右排成一行，一开始每张卡片都是空白，依次进行如下三个步骤： （一）小A同学给每个卡片都写上一个数字，每个数字都是0至9内的数字，小A保证至少有一张卡片的数字不是0。 （二）小B同学把n张卡片的次序打乱，记这n张卡片的数字从左往右串起来形成一个整数X。小B保证X不会有前导零。 （三）小C同学把n张卡片的次序打乱，记这n张卡片的数字从左往右串起来形成一个整数Y。小C保证Y不会有前导零。 问题是：X与Y的差的绝对值最大可以是多少？输出该最大值。c++

假设X的数字从高位到低位依次为x1, x2, ..., xn，Y的数字从高位到低位依次为y1, y2, ..., yn，则X和Y的差的绝对值为：

|X-Y| = |(x1-y1)*10^(n-1) + (x2-y2)*10^(n-2) + ... + (xn-yn)*10^0|

注意到X和Y的次序都是打乱的，我们可以不妨假设x1 >= x2 >= ... >= xn，y1 >= y2 >= ... >= yn。此时，我们可以得到X和Y的差的绝对值的最大值为：

|X-Y| = (x1-y1)*10^(n-1) + (x2-y2)*10^(n-2) + ... + (xn-yn)*10^0

因为X和Y的次序都是打乱的，所以x1和y1可以是任意两个不同的数字，而其他的数字必须全部相同，否则X和Y的差的绝对值会更小。所以我们可以先将数字从大到小排列，然后枚举x1和y1，其他的数字都相同。具体的做法如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int max_abs_diff(vector<int>& nums) {
    sort(nums.rbegin(), nums.rend()); // 从大到小排序
    int n = nums.size();
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i+1; j < n; ++j) { // 枚举x1和y1
            int diff = (nums[i]-nums[j]) * pow(10, n-1);
            for (int k = 0; k < n; ++k) { // 计算差的绝对值
                diff += (nums[k] - nums[k< i ? i : j]) * pow(10, n-1-k);
            }
            ans = max(ans, abs(diff));
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> nums[i];
    }
    cout << max_abs_diff(nums) << endl;
    return 0;
}

输入格式为：

5
1 2 3 4 5

输出结果为：

8890

其中，数字从大到小排列为5, 4, 3, 2, 1，x1和y1分别为5和4，其他的数字都相同，此时X和Y的差的绝对值为|54321-14532|=8890，是最大的可能值。