matlab偏微分方程实例

以下是一个简单的 Matlab 偏微分方程实例：

考虑下面的热传导方程：

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

其中 $u(x,t)$ 是温度分布，$\alpha$ 是热扩散系数。假设我们有一个无限长的导热杆，初始时温度分布为 $u(x,0) = \sin(x)$，两端固定在冰水中，即温度分布为 $u(0,t) = u(\pi,t) = 0$。我们想要求解这个方程，得到导热杆在不同时间点的温度分布。

首先，将空间域分割成 $N$ 个离散点，时间域分割成 $M$ 个离散点。设 $\Delta x$ 是空间步长，$\Delta t$ 是时间步长。我们可以用有限差分法求解这个方程。具体来说，我们用 $u_{i,j}$ 表示 $u(x_i, t_j)$，其中 $x_i = i \Delta x$，$t_j = j \Delta t$。

我们可以使用以下公式计算 $u_{i,j+1}$：

$u_{i,j+1} = u_{i,j} + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j})$

其中 $i = 1, 2, ..., N-1$，$j = 0, 1, ..., M-1$。

现在，我们可以使用 Matlab 编写这个有限差分求解程序。以下是一个示例代码：

% 偏微分方程参数
alpha = 1;
L = pi; % 导热杆长度
T = 1; % 求解时间区间
N = 20; % 空间分段数
M = 100; % 时间分段数
dx = L/N; % 空间步长
dt = T/M; % 时间步长

% 初始化温度分布
u = zeros(N+1, M+1);
u(:,1) = sin((0:N)*dx);

% 边界条件
u(1,:) = 0;
u(N+1,:) = 0;

% 求解偏微分方程
for j = 1:M
    for i = 2:N
        u(i,j+1) = u(i,j) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1,j) - 2*u(i,j) + u(i-1,j));
    end
end

% 绘制温度分布图像
[X, Y] = meshgrid((0:M)*dt, (0:N)*dx);
surf(X, Y, u');
xlabel('时间');
ylabel('空间');
zlabel('温度');

运行这个程序，就可以得到导热杆在不同时间点的温度分布图像。