将𝑢(𝑟 ) = 1 𝑟 4 (𝑥𝑦 + 1)表示为球谐函数的线性组合

首先，我们需要将函数𝑢(𝑟 ) = 1 𝑟 4 (𝑥𝑦 + 1)表示为球坐标系下的函数形式。根据球坐标系下的变量关系，有：

𝑟 = √(𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2)

cos𝜃 = 𝑧/𝑟

sin𝜃cos𝜙 = 𝑥/𝑟

sin𝜃sin𝜙 = 𝑦/𝑟

将以上变量关系代入原函数中，得到：

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 1/𝑟^4 * (sin𝜃cos𝜙 * sin𝜃sin𝜙 + 1)

接着，我们需要将函数𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙)表示为球谐函数的线性组合形式。根据球谐函数的定义，有：

Y(𝜃, 𝜙) = √(2𝑙 + 1)/4𝜋 * 𝑃𝑙(cos𝜃) * 𝑒^𝑖𝑙𝜙

其中，𝑙为整数，𝑃𝑙(cos𝜃)为勒让德多项式。因此，我们可以将函数𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙)表示为：

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = Σ 𝑐𝑙𝑚 * Y𝑙𝑚(𝜃, 𝜙)

其中，𝑚为整数，-𝑙 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙，系数𝑐𝑙𝑚为待求系数。

将函数𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙)和球谐函数的表达式代入上式，有：

1/𝑟^4 * (sin𝜃cos𝜙 * sin𝜃sin𝜙 + 1) = Σ 𝑐𝑙𝑚 * √(2𝑙 + 1)/4𝜋 * 𝑃𝑙(cos𝜃) * 𝑒^𝑖𝑙𝜙

将等式两边乘以4𝜋√(2𝑙 + 1)并对𝜃和𝜙在区域[0, 2𝜋]进行积分，得到：

∫∫ 1/𝑟^4 * (sin𝜃cos𝜙 * sin𝜃sin𝜙 + 1) * 𝑃𝑙(cos𝜃) * 𝑒^-𝑖𝑚𝜙 sin𝜃 d𝜃d𝜙 = 4𝜋√(2𝑙 + 1) * 𝑐𝑙𝑚

根据勒让德多项式的正交性质，当𝑚≠0时，上式右边为0，因此需要考虑𝑚=0的情况。此时，有：

∫∫ 1/𝑟^4 * sin𝜃cos𝜙 * 𝑃𝑙(cos𝜃) sin𝜃 d𝜃d𝜙 = 4𝜋√(2𝑙 + 1) * 𝑐𝑙0

将勒让德多项式展开并代入上式，得到：

∫∫ 1/𝑟^4 * sin𝜃cos𝜙 * 𝑃𝑙(cos𝜃) sin𝜃 d𝜃d𝜙 = 4𝜋√(2𝑙 + 1) * 𝑐𝑙0

= 4𝜋√(2𝑙 + 1)/[(2𝑙 + 1)(2𝑙 - 1)] * ∫∫ 𝑃𝑙-1(cos𝜃) sin^2(𝜃) cos𝜙 d𝜃d𝜙

= 4𝜋√(2𝑙 + 1)/[(2𝑙 + 1)(2𝑙 - 1)] * ∫ 0^2𝜋 𝑃𝑙-1(cos𝜃) sin^2(𝜃) d𝜃 * ∫ 0^𝜋 cos𝜙 d𝜙

= 4𝜋√(2𝑙 + 1)/[(2𝑙 + 1)(2𝑙 - 1)] * 2/3

= 8𝜋/[(2𝑙 + 1)(2𝑙 - 1)(2𝑙 + 3)]

因此，系数𝑐𝑙0为：

𝑐𝑙0 = ∫∫ 1/𝑟^4 * sin𝜃cos𝜙 * 𝑃𝑙(cos𝜃) sin𝜃 d𝜃d𝜙 / 4𝜋√(2𝑙 + 1)

= 8𝜋/[(2𝑙 + 1)(2𝑙 - 1)(2𝑙 + 3)] * 1/4𝜋√(2𝑙 + 1)

= √(2/𝑙(𝑙 + 1))

因此，函数𝑢(𝑟 ) = 1 𝑟 4 (𝑥𝑦 + 1)可以表示为球谐函数的线性组合：

𝑢(𝑟, 𝜃, 𝜙) = Σ √(2/𝑙(𝑙 + 1)) * Y𝑙0(𝜃, 𝜙)

其中，𝑙为整数。