利用matlab求解三元一阶微分方程组: $$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=-y-z\ \frac{dy}{dt}=x+0.3*y\ \frac{dz}{dt}=x*z-3*z+2 \end{cases}$$ 并在 $[0,10]$ 区间内作出其解曲线图
时间: 2023-07-27 07:07:48 浏览: 65
可以使用MATLAB的ode45函数求解该三元一阶微分方程组。具体实现步骤如下:
首先,定义一个函数,输入变量为t和Y(一个三元向量),输出为dydt(一个三元向量)。在该函数中,用Y(1)、Y(2)、Y(3)分别表示x、y、z,然后写出三元一阶微分方程组的表达式。
```matlab
function dydt = myodefun(t,Y)
x = Y(1);
y = Y(2);
z = Y(3);
dydt = [ -y - z; x + 0.3 * y; x * z - 3 * z + 2 ];
end
```
然后,使用ode45函数求解该微分方程组。输入参数为定义的函数、求解区间、初始值。最后,绘制出x、y、z随时间变化的曲线:
```matlab
[t,Y] = ode45(@myodefun,[0 10],[1 1 1]);
x = Y(:,1);
y = Y(:,2);
z = Y(:,3);
plot(t,x,t,y,t,z);
legend('x','y','z');
```
运行以上代码,可以得到x、y、z随时间变化的曲线:
![三元一阶微分方程组解曲线图](https://img-blog.csdnimg.cn/20210906005344818.png)
相关问题
2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程,使用伯努利公式法求解
首先将方程变形为标准形式:
$$
y' - \frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{xy}=-\frac{1}{2}x
$$
然后令$z=y^{-1}$,则有$z'=-\frac{1}{y^2}y'$,带入原方程得到:
$$
-\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}x
$$
移项化简可得:
$$
z'+\frac{1}{x}z=-x
$$
这是一个一阶线性微分方程,可以使用伯努利公式法求解。首先将方程变形为标准形式:
$$
z'+\frac{1}{x}z=-x
$$
然后令$p(x)=\frac{1}{x}$,$q(x)=-x$,$n=-1$,则有:
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(z\cdot x^{-1}\right)=-x^{-2}z-x^{-1}\cdot x^{-n}q(x)
$$
即:
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(z\cdot x^{-1}\right)+xz=-x^{-1}
$$
再令$v=z\cdot x^{-1}$,则有:
$$
v'+xv=-x^{-1}
$$
这是一个一阶线性非齐次微分方程,可以使用常数变易法求解。首先求出其齐次方程的通解:
$$
v'+xv=0
$$
其特征方程为$\lambda+x=0$,解得$\lambda=-x$,因此齐次方程的通解为$v=cx^{-1}$(其中$c$为任意常数)。
接下来求非齐次方程的一个特解。根据非齐次项形式,猜测一个特解为$v=-\frac{1}{2}$,带入方程得到:
$$
-\frac{1}{2}'x-\frac{1}{2}=-x^{-1}
$$
即$\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{x}$,解得$\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}$,即$x=1$时有特解$v=-\frac{1}{2}$。
因此非齐次方程的通解为$v=cx^{-1}-\frac{1}{2}$,即$z=y^{-1}=cx+\frac{1}{2}y$,其中$c$为任意常数。
综上所述,原微分方程的通解为$y=-\frac{2}{cx+1}$。
MATLAB利用龙格-库塔方法数值求解微分方程组
MATLAB中可以利用ode45函数来数值求解微分方程组,其中默认使用的就是龙格-库塔方法。以下是一个简单的例子:
假设有如下微分方程组:
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=y \\
\frac{dy}{dt}=-x
\end{cases}
$$
首先,将它们转化为MATLAB可处理的形式:
```
function [dxdt] = myode(t,x)
dxdt = [x(2);-x(1)];
end
```
然后,调用ode45函数进行数值求解:
```
[t,x] = ode45(@myode,[0 10],[1 0]);
```
其中,第一个参数@myode表示要求解的微分方程组的函数句柄,第二个参数[0 10]表示求解的时间区间,第三个参数[1 0]表示初始条件。
最后,可以通过plot函数将求解结果可视化:
```
plot(t,x(:,1),'b',t,x(:,2),'r');
legend('x','y');
```
这个例子中,我们得到了微分方程组的数值解,并将其可视化。