已知矩阵A是正定矩阵，则其二分之一次方根矩阵是否正定？若是，它的特征值和A的特征值的关系是什么？

是的，矩阵A的二分之一次方根矩阵也是正定矩阵。

关于特征值的关系，设A的特征值为λ，其二分之一次方根矩阵为B，则有B^2=A。由此可得：

B^2x = Ax = λx

两边同时左乘B的逆矩阵B^-1，得到：

BxBx = λBx

即：

B^2y = λy

其中y=Bx。由此可知，B的特征值是A的特征值的平方根，即B的特征值为±√λ。因为A是正定矩阵，所以其特征值一定都是正数，因此B的特征值也都是正数。

相关问题

帮我写一段Matlab代码，内容是“已知矩阵A和A的特征值,求A的特征向量”

好的，以下是Matlab代码：

% 已知矩阵 A 和其特征值 eig_A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
eig_A = [16.1168; -1.1168; 0];

% 求 A 的特征向量
eig_vec_A = [];
for i = 1:length(eig_A)
    eig_vec_A = [eig_vec_A null(A - eig_A(i) * eye(size(A)))];
end

解释一下：

1. 定义矩阵 A 和其特征值 eig_A。

2. 使用 null 函数求出 A - eig_A(i) * eye(size(A)) 的零空间，即为 A 的特征向量。

3. 将所有特征向量按列拼接成矩阵 eig_vec_A。

注意：以上代码仅适用于没有重复特征值的情况。如果有重复特征值，需要对每个特征值对应的零空间求一次基础解系，然后将所有基础解系的向量按列拼接起来得到特征向量矩阵。

帮我写一段Matlab代码，内容是“已知矩阵A和A的特征矩阵B,求A的特征值”

当已知矩阵A和A的特征矩阵B时，可以通过以下Matlab代码求解A的特征值：

% 已知矩阵A和A的特征矩阵B
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = [0.11 -0.91 0.4; -0.58 0.13 0.81; -0.81 -0.4 -0.45];

% 求解A的特征值
eig_vals = eig(B\A); % B\A表示B的逆乘以A

disp('A的特征值为：');
disp(eig_vals);

其中，`eig()`函数用于求解矩阵的特征值，`\`表示矩阵的逆。运行以上代码，即可得到矩阵A的特征值。