已知矩阵A是正定矩阵,则其二分之一次方根矩阵是否正定?若是,它的特征值和A的特征值的关系是什么?
时间: 2024-02-02 21:03:28 浏览: 98
是的,矩阵A的二分之一次方根矩阵也是正定矩阵。
关于特征值的关系,设A的特征值为λ,其二分之一次方根矩阵为B,则有B^2=A。由此可得:
B^2x = Ax = λx
两边同时左乘B的逆矩阵B^-1,得到:
BxBx = λBx
即:
B^2y = λy
其中y=Bx。由此可知,B的特征值是A的特征值的平方根,即B的特征值为±√λ。因为A是正定矩阵,所以其特征值一定都是正数,因此B的特征值也都是正数。
相关问题
帮我写一段Matlab代码,内容是“已知矩阵A和A的特征值,求A的特征向量”
好的,以下是Matlab代码:
```matlab
% 已知矩阵 A 和其特征值 eig_A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
eig_A = [16.1168; -1.1168; 0];
% 求 A 的特征向量
eig_vec_A = [];
for i = 1:length(eig_A)
eig_vec_A = [eig_vec_A null(A - eig_A(i) * eye(size(A)))];
end
```
解释一下:
1. 定义矩阵 A 和其特征值 eig_A。
2. 使用 null 函数求出 A - eig_A(i) * eye(size(A)) 的零空间,即为 A 的特征向量。
3. 将所有特征向量按列拼接成矩阵 eig_vec_A。
注意:以上代码仅适用于没有重复特征值的情况。如果有重复特征值,需要对每个特征值对应的零空间求一次基础解系,然后将所有基础解系的向量按列拼接起来得到特征向量矩阵。
帮我写一段Matlab代码,内容是“已知矩阵A和A的特征矩阵B,求A的特征值”
当已知矩阵A和A的特征矩阵B时,可以通过以下Matlab代码求解A的特征值:
```matlab
% 已知矩阵A和A的特征矩阵B
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = [0.11 -0.91 0.4; -0.58 0.13 0.81; -0.81 -0.4 -0.45];
% 求解A的特征值
eig_vals = eig(B\A); % B\A表示B的逆乘以A
disp('A的特征值为:');
disp(eig_vals);
```
其中,`eig()`函数用于求解矩阵的特征值,`\`表示矩阵的逆。运行以上代码,即可得到矩阵A的特征值。
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