已知特征值特征向量求矩阵

如果已知一个矩阵的特征值和特征向量，可以使用特征分解（也称为谱分解）来求解矩阵。特征分解将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的形式。

假设我们要求解的矩阵为 A，其特征值为 λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为 v1, v2, …, vn。我们可以将这些特征向量按列组成一个矩阵 V，它的第 i 列为特征向量 vi。同样地，我们可以将这些特征值按对角线组成一个矩阵 Λ，它的第 i 个对角线元素为 λi。那么矩阵 A 可以被分解为：

A = VΛV^-1

其中 V^-1 表示 V 的逆矩阵。因为特征向量矩阵 V 是一个正交矩阵，所以 V^-1 = V^T，即 V 的转置矩阵。

因此，如果已知矩阵 A 的特征值和特征向量，我们可以通过上述公式求出矩阵 A。

相关问题

已知矩阵特征值求伴随矩阵的特征值

设矩阵A的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为x1, x2, …, xn，则其伴随矩阵A*的特征值为λ1^(n-1), λ2^(n-1), …, λn^(n-1)。

这个结论可以通过计算矩阵的特征多项式得出。设A的特征多项式为f(λ)，则伴随矩阵A*的特征多项式为f(λ)*(λ^(n-1))。因此，A*的特征值就是f(λ)*(λ^(n-1))的根。

注意，这个结论只适用于可逆矩阵，因为伴随矩阵的定义需要用到A的逆矩阵。对于奇异矩阵（即行列式为0的矩阵），其伴随矩阵不存在。

已知特征值，求单位正交特征向量的步骤

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，对于每个特征值 $\lambda_i$，求其对应的单位正交特征向量的步骤如下：

1. 对于每个特征值 $\lambda_i$，求解出 $A-\lambda_i I$ 的零空间，即求出 $A-\lambda_i I$ 的基础解系，得到线性无关的特征向量组 $\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_k}\}$。

2. 对于每个特征向量 $\boldsymbol{v_i}$，进行 Gram-Schmidt 过程，将其转化为单位正交特征向量 $\boldsymbol{u_i}$。

3. 最终得到的单位正交特征向量组为 $\{\boldsymbol{u_1},\boldsymbol{u_2},\cdots,\boldsymbol{u_k}\}$，其中 $\boldsymbol{u_i}$ 对应的特征值为 $\lambda_i$。

注意：在实际计算时，可以利用数值计算工具如 MATLAB 等来求解特征向量和特征值。