线性代数中如何进行坐标系转换,请举例

在线性代数中，坐标系转换可以通过矩阵乘法来实现。假设有两个坐标系，分别为 $S$ 和 $T$，其中 $S$ 坐标系下的向量为 $\boldsymbol{v}_S$，$T$ 坐标系下的向量为 $\boldsymbol{v}_T$。设 $S$ 坐标系下的基向量组为 $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n\}$，$T$ 坐标系下的基向量组为 $\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2, \cdots, \boldsymbol{f}_n\}$。则有：

$$\boldsymbol{v}_T = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_1 & \boldsymbol{f}_2 & \cdots & \boldsymbol{f}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{e}_1^T \\ \boldsymbol{e}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{e}_n^T \end{bmatrix} \boldsymbol{v}_S$$

其中，$\boldsymbol{e}_i^T$ 表示 $\boldsymbol{e}_i$ 的转置，即行向量。矩阵 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_1 & \boldsymbol{f}_2 & \cdots & \boldsymbol{f}_n \end{bmatrix}$ 表示从 $S$ 坐标系到 $T$ 坐标系的转换矩阵，记为 $P_{ST}$。因此，坐标系转换可以表示为：

$$\boldsymbol{v}_T = P_{ST} \boldsymbol{v}_S$$

举个例子，假设有一个向量 $\boldsymbol{v}_S = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$，$S$ 坐标系下的基向量组为 $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}$，其中 $\boldsymbol{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{e}_2 = \begin{bmatrix} \\ 1 \end{bmatrix}$。$T$ 坐标系下的基向量组为 $\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}$，其中 $\boldsymbol{f}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{f}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。则 $P_{ST} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。因此，$T$ 坐标系下的向量为：

$$\boldsymbol{v}_T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$$