L(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i}))求其对 β的一阶导函数

为了方便表示，我们令：

- Φ(z) 表示标准正态分布的累积分布函数，即 Φ(z) = P(Z ≤ z)，其中 Z 是标准正态分布随机变量；
- x_i 是长度为 p 的实数向量，其中第 j 个元素为 x_{ij}；
- y_i 是二元分类的响应变量，取值为 0 或 1；
- β 是长度为 p 的实数向量。

我们的目标是求 L(β) 对 β 的一阶导数，即：

∇L(β) = (∂L(β)/∂β_1, ∂L(β)/∂β_2, ..., ∂L(β)/∂β_p)^T

其中 ∂L(β)/∂β_j 表示 L(β) 对 β_j 的偏导数。

为了方便计算，我们先对 L(β) 取负对数，得到：

-neglogL(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i})) = -∑(y_i log(Φ(β^T x_i)) + (1-y_i) log(1-Φ(β^T x_i)))

其中 ∑ 是对 i 的求和。

现在我们对 neglogL(β) 求 β_j 的偏导数，有：

∂(neglogL(β))/∂β_j = -∑(y_i (1-Φ(β^T x_i)) x_{ij} - (1-y_i) Φ(β^T x_i) x_{ij})

其中 ∑ 是对 i 的求和。

因此，L(β) 对 β 的一阶导数为：

∇L(β) = (-∑(y_i (1-Φ(β^T x_i)) x_{i1} - (1-y_i) Φ(β^T x_i) x_{i1}), ..., -∑(y_i (1-Φ(β^T x_i)) x_{ip} - (1-y_i) Φ(β^T x_i) x_{ip}))^T

其中 ∑ 是对 i 的求和，Φ(z) 表示标准正态分布的累积分布函数，x_{ij} 表示第 i 个样本的第 j 个特征值，y_i 是第 i 个样本的响应变量。