1. 随机向量 X 服从 p 元正态分布 N(0,I_p)，回归系数 β=〖(1,2,⋯,p)〗^T, 给定X 的条件下，随机变量 Y 的条件分布为 P(Y=1|X) = 1- P(Y=0|X) = Φ(β^T X+0), (1) 其中 Φ 为标准正态分布的分布函数，从上述模型中产生独立同分布观测样本{(x_i,y_i),i = 1,⋯,n}.编出目标函数和其一阶导函数

根据题意，目标函数可以写为：

L(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i}))

取负号是为了转化为最小化问题。

对L(β)求一阶导数，有：

∇L(β) = -∑(y_i-Φ(β^T x_i))x_i

其中，∇L(β)表示L(β)的梯度向量，x_i和y_i分别为第i个样本的特征向量和标签。

因此，最终的目标函数和一阶导数为：

L(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i}))

∇L(β) = -∑(y_i-Φ(β^T x_i))x_i

相关问题

随机向量 x服从 p 元正态分布 ，回归系数b 从上述模型中产生独立同分布观测样本 .用最小二乘估计b的 python代码（不使用minize函数和optimistic包并且产生结果）

假设我们有一个数据集，其中X是自变量矩阵，Y是因变量向量。我们可以使用numpy库中的线性代数函数来计算最小二乘估计。

import numpy as np

# 生成自变量矩阵X和因变量向量Y
n = 100 # 样本数
p = 5 # 自变量个数
X = np.random.randn(n, p) # 生成n行p列的随机矩阵
b = np.random.randn(p) # 生成p维随机向量作为系数
Y = X.dot(b) + np.random.randn(n) # 计算因变量向量并加入随机噪声

# 计算最小二乘估计
X_transpose = np.transpose(X)
b_hat = np.linalg.inv(X_transpose.dot(X)).dot(X_transpose).dot(Y)

# 输出系数估计结果
print("真实系数：", b)
print("估计系数：", b_hat)

在上述代码中，我们首先生成一个n行p列的随机矩阵X，以及一个p维随机向量作为系数b。然后，我们计算因变量向量Y，并加入随机噪声。接着，我们使用numpy库中的transpose函数计算X的转置矩阵，并使用dot函数计算矩阵乘积。最后，我们使用linalg库中的inv函数计算矩阵的逆，并使用dot函数计算矩阵乘积来得到系数估计结果。最终，我们输出真实系数和估计系数。

随机向量 x服从 p 元正态分布 ，回归系数b , 给定 的条件下，y是0,1，y等于1的概率是标准正态分布到bx的积分(iv)用信赖域算法和局部线性近似 编程实现b的最大似然估计 从上述模型中产生独立同分布观测样本 .的 python代码（不使用minize函数和optimistic包并且产生结果）

下面是实现上述模型的Python代码，其中使用了信赖域算法和局部线性近似来进行最大似然估计：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 生成服从p元正态分布的随机向量x
p = 10
mean = np.zeros(p)
cov = np.identity(p)
x = np.random.multivariate_normal(mean, cov)

# 定义回归系数b和条件y
b = np.random.randn(p)
y = np.random.binomial(1, norm.cdf(np.dot(b, x)))

# 定义似然函数
def likelihood(b):
    log_likelihood = 0
    for i in range(len(x)):
        log_likelihood += np.log(norm.cdf(np.dot(b, x[i]))) if y[i] == 1 else np.log(1 - norm.cdf(np.dot(b, x[i])))
    return -log_likelihood

# 定义信赖域算法和局部线性近似函数进行最大似然估计
def trust_region_hessian(x, grad, hess, delta):
    p = -np.linalg.solve(hess, grad)
    if np.linalg.norm(p) <= delta:
        return p
    else:
        tau = 2
        while True:
            hess_delta = hess + tau * np.identity(len(x))
            p = -np.linalg.solve(hess_delta, grad)
            if np.linalg.norm(p) <= delta:
                return p
            elif tau >= 2 ** 10:
                return p
            else:
                tau *= 2

def local_quadratic_approximation(x, f):
    n = len(x)
    eps = np.finfo(float).eps
    grad = np.zeros(n)
    hess = np.zeros((n, n))
    f0 = f(x)
    for i in range(n):
        x_i = x[i]
        x[i] += eps
        grad[i] = (f(x) - f0) / eps
        x[i] = x_i
        for j in range(i, n):
            x_i, x_j = x[i], x[j]
            x[i], x[j] = x_i + eps, x_j + eps
            f_ij = (f(x) - f(x - [eps if k == i else 0 for k in range(n)] - [eps if k == j else 0 for k in range(n)]) - f0 + f(x - [eps if k == i else 0 for k in range(n)]) - f(x - [eps if k == j else 0 for k in range(n)])) / eps ** 2
            hess[i, j] = f_ij
            hess[j, i] = f_ij
            x[i], x[j] = x_i, x_j
    return f0, grad, hess

def trust_region_newton(x0, f, delta=1):
    x = x0
    fx, grad, hess = local_quadratic_approximation(x, f)
    p = trust_region_hessian(x, grad, hess, delta)
    alpha = 1
    while True:
        x_new = x + alpha * p
        fx_new = f(x_new)
        rho = (fx - fx_new) / (-np.dot(grad, p) - 0.5 * np.dot(p, np.dot(hess, p)))
        if rho > 0.25:
            delta *= 2
        else:
            delta /= 2
        if rho > 0:
            x = x_new
            fx = fx_new
            fx, grad, hess = local_quadratic_approximation(x, f)
            p = trust_region_hessian(x, grad, hess, delta)
        if np.linalg.norm(grad) < eps or delta < eps:
            break
    return x

# 生成独立同分布观测样本
n = 1000
X = np.random.multivariate_normal(mean, cov, n)
Y = np.zeros(n)
for i in range(n):
    Y[i] = np.random.binomial(1, norm.cdf(np.dot(b, X[i])))

# 进行最大似然估计
b_init = np.zeros(p)
b_mle = trust_region_newton(b_init, likelihood)
print("Maximum likelihood estimate of b:", b_mle)

注意，上述代码使用了SciPy库中的norm函数来计算正态分布的累积分布函数。如果没有安装SciPy库，可以使用以下命令进行安装：

pip install scipy