1. 随机向量 X 服从 p 元正态分布 N(0,I_p),回归系数 β=〖(1,2,⋯,p)〗^T, 给定X 的条件下,随机变量 Y 的条件分布为 P(Y=1|X) = 1- P(Y=0|X) = Φ(β^T X+0), (1) 其中 Φ 为标准正态分布的分布函数,从上述模型中产生独立同分布观测样本{(x_i,y_i),i = 1,⋯,n}.编出目标函数和其一阶导函数

时间: 2023-09-25 17:08:50 浏览: 59
根据题意,目标函数可以写为: L(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i})) 取负号是为了转化为最小化问题。 对L(β)求一阶导数,有: ∇L(β) = -∑(y_i-Φ(β^T x_i))x_i 其中,∇L(β)表示L(β)的梯度向量,x_i和y_i分别为第i个样本的特征向量和标签。 因此,最终的目标函数和一阶导数为: L(β) = -log(∏(Φ(β^T x_i)^{y_i}(1-Φ(β^T x_i))^{1-y_i})) ∇L(β) = -∑(y_i-Φ(β^T x_i))x_i
相关问题

随机向量 x服从 p 元正态分布 ,回归系数b 从上述模型中产生独立同分布观测样本 .用最小二乘估计b的 python代码(不使用minize函数和optimistic包并且产生结果)

假设我们有一个数据集,其中X是自变量矩阵,Y是因变量向量。我们可以使用numpy库中的线性代数函数来计算最小二乘估计。 ```python import numpy as np # 生成自变量矩阵X和因变量向量Y n = 100 # 样本数 p = 5 # 自变量个数 X = np.random.randn(n, p) # 生成n行p列的随机矩阵 b = np.random.randn(p) # 生成p维随机向量作为系数 Y = X.dot(b) + np.random.randn(n) # 计算因变量向量并加入随机噪声 # 计算最小二乘估计 X_transpose = np.transpose(X) b_hat = np.linalg.inv(X_transpose.dot(X)).dot(X_transpose).dot(Y) # 输出系数估计结果 print("真实系数:", b) print("估计系数:", b_hat) ``` 在上述代码中,我们首先生成一个n行p列的随机矩阵X,以及一个p维随机向量作为系数b。然后,我们计算因变量向量Y,并加入随机噪声。接着,我们使用numpy库中的transpose函数计算X的转置矩阵,并使用dot函数计算矩阵乘积。最后,我们使用linalg库中的inv函数计算矩阵的逆,并使用dot函数计算矩阵乘积来得到系数估计结果。最终,我们输出真实系数和估计系数。

随机向量 x服从 p 元正态分布 ,回归系数b , 给定 的条件下,y是0,1,y等于1的概率是标准正态分布到bx的积分(iv)用信赖域算法和局部线性近似 编程实现b的最大似然估计 从上述模型中产生独立同分布观测样本 .的 python代码(不使用minize函数和optimistic包并且产生结果)

下面是实现上述模型的Python代码,其中使用了信赖域算法和局部线性近似来进行最大似然估计: ```python import numpy as np from scipy.optimize import minimize # 生成服从p元正态分布的随机向量x p = 10 mean = np.zeros(p) cov = np.identity(p) x = np.random.multivariate_normal(mean, cov) # 定义回归系数b和条件y b = np.random.randn(p) y = np.random.binomial(1, norm.cdf(np.dot(b, x))) # 定义似然函数 def likelihood(b): log_likelihood = 0 for i in range(len(x)): log_likelihood += np.log(norm.cdf(np.dot(b, x[i]))) if y[i] == 1 else np.log(1 - norm.cdf(np.dot(b, x[i]))) return -log_likelihood # 定义信赖域算法和局部线性近似函数进行最大似然估计 def trust_region_hessian(x, grad, hess, delta): p = -np.linalg.solve(hess, grad) if np.linalg.norm(p) <= delta: return p else: tau = 2 while True: hess_delta = hess + tau * np.identity(len(x)) p = -np.linalg.solve(hess_delta, grad) if np.linalg.norm(p) <= delta: return p elif tau >= 2 ** 10: return p else: tau *= 2 def local_quadratic_approximation(x, f): n = len(x) eps = np.finfo(float).eps grad = np.zeros(n) hess = np.zeros((n, n)) f0 = f(x) for i in range(n): x_i = x[i] x[i] += eps grad[i] = (f(x) - f0) / eps x[i] = x_i for j in range(i, n): x_i, x_j = x[i], x[j] x[i], x[j] = x_i + eps, x_j + eps f_ij = (f(x) - f(x - [eps if k == i else 0 for k in range(n)] - [eps if k == j else 0 for k in range(n)]) - f0 + f(x - [eps if k == i else 0 for k in range(n)]) - f(x - [eps if k == j else 0 for k in range(n)])) / eps ** 2 hess[i, j] = f_ij hess[j, i] = f_ij x[i], x[j] = x_i, x_j return f0, grad, hess def trust_region_newton(x0, f, delta=1): x = x0 fx, grad, hess = local_quadratic_approximation(x, f) p = trust_region_hessian(x, grad, hess, delta) alpha = 1 while True: x_new = x + alpha * p fx_new = f(x_new) rho = (fx - fx_new) / (-np.dot(grad, p) - 0.5 * np.dot(p, np.dot(hess, p))) if rho > 0.25: delta *= 2 else: delta /= 2 if rho > 0: x = x_new fx = fx_new fx, grad, hess = local_quadratic_approximation(x, f) p = trust_region_hessian(x, grad, hess, delta) if np.linalg.norm(grad) < eps or delta < eps: break return x # 生成独立同分布观测样本 n = 1000 X = np.random.multivariate_normal(mean, cov, n) Y = np.zeros(n) for i in range(n): Y[i] = np.random.binomial(1, norm.cdf(np.dot(b, X[i]))) # 进行最大似然估计 b_init = np.zeros(p) b_mle = trust_region_newton(b_init, likelihood) print("Maximum likelihood estimate of b:", b_mle) ``` 注意,上述代码使用了SciPy库中的norm函数来计算正态分布的累积分布函数。如果没有安装SciPy库,可以使用以下命令进行安装: ```python pip install scipy ```

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