瑞利里兹法matlab程序

以下是瑞利里兹法的 MATLAB 程序示例：

function [eigenvalues, eigenvectors] = rayleigh_ritz(A, B, k)
% RAYLEIGH_RITZ Computes the Rayleigh-Ritz approximation of the first k eigenpairs
% of the generalized eigenvalue problem: A*x = lambda*B*x, where A and B are symmetric
% and positive definite matrices.
%
% Inputs:
% A - Symmetric positive definite matrix
% B - Symmetric positive definite matrix
% k - Number of eigenpairs to compute
%
% Outputs:
% eigenvalues - Vector of k Rayleigh-Ritz eigenvalues
% eigenvectors - Matrix of k Rayleigh-Ritz eigenvectors
%
n = size(A,1);
X = randn(n,k); % Initial guess for eigenvectors
for i=1:k
    % Compute Rayleigh-Ritz quotient
    AX = A*X;
    BX = B*X;
    ritz_vals = dot(X,AX)./dot(X,BX);
    % Compute eigenvector using generalized eigenvalue problem
    [eigenvectors(:,i),d] = eig(AX - ritz_vals(i)*BX,B);
    % Compute Rayleigh-Ritz residual
    residual = AX*eigenvectors(:,i) - ritz_vals(i)*BX*eigenvectors(:,i);
    % Orthogonalize residual with existing eigenvectors
    residual = residual - eigenvectors(:,1:i-1)*(eigenvectors(:,1:i-1)'*residual);
    % Normalize residual
    eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) + residual./norm(residual);
    % Save Rayleigh-Ritz eigenvalue
    eigenvalues(i) = ritz_vals(i);
end
end

在此程序中，我们使用了随机向量作为初始猜测的特征向量，并使用瑞利商进行迭代。通过调用 MATLAB 中的 `eig` 函数计算每个 Rayleigh-Ritz 近似的特征向量和特征值，并使用它们来正交化和归一化下一个 Rayleigh-Ritz 近似的初始猜测。

请注意，这个程序只适用于对称正定的一般化特征值问题。如果您需要解决其他类型的特征值问题，您需要编写不同的程序。