【华为od机试真题 java、python】无向图染色问题【2022 q4 | 100分】

题目描述

给定一个无向图，把图的结点分成两组，要求相同组内的结点之间没有连边，求这样分组的可能方案数。

输入格式

第一行一个整数 n，表示图的结点数。

接下来有 n 行，其中第 i 行的第 j 个整数表示结点 i 和结点 j 之间是否有连边。

输出格式

输出一个整数，为方案数。

输入样例

4
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0

输出样例

10

解题思路

本题解法很多，以下介绍两种较常见的做法。

做法一：二分图染色

将整个无向图按照二分图划分为两部分，其中每一部分内的节点都没有互相连通的边。即，将图中的每个节点分为两组，使得每组内没有连边，此时的分组情况可以确定，方案数为 2^(n/2)。这里可以使用 DFS 或 BFS 实现，需要注意以下两个细节：

- 图不一定联通，因此需要对所有的节点进行遍历；
- 一个无向图不一定是二分图，因此需要处理在原图中连通的节点被划分在同一组的情形。

代码如下：

Java版：

import java.util.*;
public class Main {
static int n;
static int[][] w;
static int[] color;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
w = new int[n][n];
color = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
w[i][j] = sc.nextInt();
dfs(0, 1);
int ans = 1;
for (int c : color) {
if (c == 0)
ans *= 2;
}
System.out.println(ans);
}
static void dfs(int u, int c) {
color[u] = c;
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (w[u][v] == 0)
continue;
if (color[v] == 0) {
dfs(v, 3 - c); // 如果是颜色1，则下一次染成颜色2；如果是颜色2，下一次染成颜色1
} else if (color[v] == c) {
System.out.println(0); // 相邻节点颜色相同，说明不是二分图
System.exit(0); // 必须结束程序
}
}
}
}

Python版：

n = int(input())
w = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
color = [0] * n # color 记录染色信息，初始值为0
def dfs(u, c):
color[u] = c
for v in range(n):
if w[u][v] == 0:
continue
if color[v] == 0:
dfs(v, 3 - c)
elif color[v] == c:
print(0)
exit()
dfs(0, 1)
ans = 1
for c in color:
if c == 0:
ans *= 2
print(ans)

做法二：矩阵树定理

矩阵树定理可以用于计算无向图的生成树个数以及最小割的计算。这里只介绍如何使用矩阵树定理计算无向图的染色数。

定义行列式的值为图的邻接矩阵去掉一行一列之后的行列式的值，即 d = |(W)ij|，其中 W 表示邻接矩阵。则生成树个数等于 d^(n-2)。

如果将邻接矩阵 W 的每一行都减去该行的最后一个元素，并将对角线顶点连接起来，形成的新矩阵可以用于计算染色数。新矩阵记作 M，其中 M 的 i 行表示第 i 个结点都和哪些结点相连，例如 M 的第 i 行为 [0, 1, 1, 1]，表示 1、2、3 这三个结点和 i 相连。

将 M 的第 i 行中的每个元素变成该行所有数的相反数，再将对角线顶点连接起来，形成的新矩阵记作 K，那么 K 的行列式值即为答案。例如，如果 M 的第 i 行为 [0, 1, 1, 1]，那么 K 矩阵的该行为 [-3, 1, 1, 1]。

代码如下：

Java版：

import java.util.*;
public class Main {
static int n;
static int[][] w;
static int[][] m;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
w = new int[n][n];
m = new int[n - 1][n - 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
w[i][j] = sc.nextInt();
if (i != j && w[i][j] != 0) {
m[Math.min(i, j)][Math.max(i, j)] = -1;
}
}
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
m[i][i] -= Arrays.stream(m[i]).sum();
System.out.println(det());
}
static long det() {
long ans = 1;
for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
for (int j = i + 1; j < n - 1; j++) {
while (m[j][i] != 0) {
long t = m[i][i] / m[j][i];
for (int k = i; k < n - 1; k++)
m[i][k] -= t * m[j][k];
for (int k = i; k < n - 1; k++)
m[i][k] ^= m[j][k] ^= m[i][k] ^= m[j][k];
ans = -ans;
}
}
ans *= m[i][i];
}
return ans;
}
}

Python版：

n = int(input())
w = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
m = [[0] * (n - 1) for _ in range(n - 1)]
for i in range(n):
for j in range(i + 1, n):
if w[i][j] == 1:
m[min(i, j)][max(i, j) - 1] = -1
for i in range(n - 1):
m[i][i] = sum(m[i]) - m[i][i]

def det():
ans = 1
for i in range(n - 2):
for j in range(i + 1, n - 1):
while m[j][i]:
t = m[i][i] // m[j][i]
for k in range(i, n - 1):
m[i][k] -= t * m[j][k]
m[i], m[j] = m[j], m[i]
ans = -ans
ans *= m[i][i]
return ans

print(det())