设n为奇数，A 为n阶方阵，证明|A-A^T|=0

首先，我们知道 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置矩阵，即将矩阵 $A$ 沿其主对角线翻转得到的矩阵。因此，$A-A^T$ 表示矩阵 $A$ 与其转置矩阵的差。

我们需要证明当 $n$ 为奇数时，$|A-A^T|=0$，也就是说，$A-A^T$ 的行列式为0。

根据行列式的定义，$|A-A^T|$ 可以表示为 $A-A^T$ 的特征值的乘积。因此，我们只需要证明 $A-A^T$ 至少存在一个特征值为0。

假设矩阵 $A$ 的一个特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $x$，则有 $Ax=\lambda x$。同时，由于 $A$ 为实矩阵，因此 $x^T$ 也是 $A$ 的特征向量，且对应的特征值也为 $\lambda$。因此，我们有：

$$(A-A^T)x=Ax-(A^T)x=\lambda x-\lambda x=0$$

因此，$A-A^T$ 至少存在一个特征值为0，其对应的特征向量为 $x$。因此，$|A-A^T|=0$，证毕。

因此，当矩阵 $A$ 为奇数阶方阵时，$|A-A^T|=0$。

相关问题

假定a和b是奇数且a≠b。 证明存在唯一的整数c满足|a-c|=|b-c|。

假设存在两个整数c和d，满足|a-c|=|b-c|和|a-d|=|b-d|。我们需要证明c=d。

首先，根据假设a和b是奇数，我们可以得出a-c和b-c的奇偶性相同，a-d和b-d的奇偶性也相同。因此，可以得出以下两种情况：

1. a-c和b-c都是奇数，a-d和b-d都是奇数。

那么，a-c和b-c的差值为偶数，而a-d和b-d的差值也为偶数。这意味着c和d的奇偶性相同。因此，我们可以假设c和d都是奇数。

现在，我们有以下两个方程：

a-c = b-c 或 a-c = -(b-c)

a-d = b-d 或 a-d = -(b-d)

将这些方程重排得到：

c = (a+b)/2 或 c = (a-b)/2

d = (a+b)/2 或 d = (b-a)/2

由于a、b、c和d都是奇数，所以(c+d)和(a+b)都是偶数。但是，我们已经得出c和d可能有不同的值，这意味着(c+d)/2可能是一个奇数，这与我们得出的结论相矛盾。因此，第一种情况不成立。

2. a-c和b-c都是偶数，a-d和b-d都是偶数。

那么，a-c和b-c的差值为偶数，而a-d和b-d的差值也为偶数。这意味着c和d的奇偶性相同。因此，我们可以假设c和d都是偶数。

现在，我们有以下两个方程：

a-c = b-c 或 a-c = -(b-c)

a-d = b-d 或 a-d = -(b-d)

将这些方程重排得到：

c = (a+b)/2 或 c = (a-b)/2

d = (a+b)/2 或 d = (b-a)/2

由于a、b、c和d都是偶数，所以(c+d)和(a+b)都是偶数。这意味着(c+d)/2和(a+b)/2都是整数。因此，我们可以将c和d分别表示为：

c = (a+b)/2+k

d = (a+b)/2+l

其中k和l都是整数。将这些方程代入|a-c|=|b-c|和|a-d|=|b-d|中，得到：

|a-(a+b)/2-k| = |b-(a+b)/2-k|

|a-(a+b)/2-l| = |b-(a+b)/2-l|

化简得到：

|b-a-2k| = |b-a-2l|

因为a和b是奇数，所以b-a是偶数。因此，2k和2l都是偶数。假设2k=2l，那么k和l相等，因此c=d。假设2k≠2l，那么|b-a-2k|=|b-a-2l|=2|k-l|。但是，因为2k和2l都是偶数，所以|k-l|是整数。因此，我们得出结论：c=d。

综上所述，当a和b是奇数且a≠b时，存在唯一的整数c满足|a-c|=|b-c|。

用scala证明a^n+b^n=c^n在n大于时没有正整数组解

这个问题可以使用费马大定理进行证明。费马大定理指出，对于任意大于2的自然数n，任意整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正整数解不存在。

首先，我们需要证明当n为偶数时，方程a^n+b^n=c^n无正整数解。假设存在正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为偶数。根据费马小定理，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同时除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。

由于n为偶数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：

(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2

又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2，所以(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) >= 1/√2。但是由于n >= 2，所以√2 < 2^(n/2)，因此(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：

(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2 > 1

这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此偶数n时方程无正整数解。

接下来，我们需要证明当n为奇数时，方程a^n+b^n=c^n无正整数解。假设存在正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为奇数。根据费马小定理，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同时除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。

由于n为奇数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：

(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2

又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2，所以(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) >= 1/√2。但是由于n为奇数，所以√2 < 2^((n-1)/2)，因此(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：

(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2 > 1

这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此奇数n时方程无正整数解。

综上所述，对于任意大于2的自然数n，任意整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正整数解不存在。