高数求曲线y=1/x,直线x-y=0和x=3所围成图形的面积

我们可以使用定积分来计算曲线y=1/x所围成的面积。根据题目，我们需要计算从x=1到x=3的区间上曲线y=1/x与x轴之间的面积。由于该曲线在x轴右侧，因此面积为正值。

面积可以表示为积分，即：

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$

对于这个积分，我们可以使用换元法来求解，令u=lnx，则x=e^u，dx=e^u du，积分变为：

$S = \int_{0}^{\ln3} e^{-u} du$

这是一个比较简单的积分，可以直接求解，得到：

$S = [-e^{-u}]_{0}^{\ln3} = -e^{-\ln3} + e^{0} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

因此，所围成图形的面积为$\frac{2}{3}$。

相关问题

x=2t-t^2,y=2t^2-t^3, 其中 0<=t<=2，积分面积怎么求？

我们可以将 x 和 y 分别表示为 t 的函数，即 x = f(t) = 2t - t^2，y = g(t) = 2t^2 - t^3。然后，我们可以在 t 轴上绘制出 t 的范围，即 0 <= t <= 2，并将其转化为坐标系中的点。接下来，我们可以绘制出由 x 和 y 所表示的函数图形，并在这些图形之间找到面积。使用积分方法可以计算该面积。

因此，根据二元函数的积分面积公式，该积分面积可表示为 ∫[0,2] [g(t) - f(t)]dt，其中 g(t) 和 f(t) 分别是 y 和 x 的函数。我们将该积分范围分解成许多小矩形，并对每个小矩形计算面积，然后将所有小矩形的面积相加，得出积分面积。

具体计算方法请参考高等数学的积分公式和方法。

高数将x/√(1+x²)展开成x的幂级数

可以使用泰勒级数的方法求解。首先，对于函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，我们有如下的泰勒级数展开式：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}$$

接着，我们可以将$x/√(1+x²)$表示为$f(x^2)$的形式，即：

$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(-x^2)}}=x\cdot f(-x^2)$$

然后，我们可以将$f(-x^2)$代入$f(x)$的级数展开式，得到

$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-x^2)^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$$

所以$x/√(1+x²)$的幂级数展开形式为$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$。