分支限界法求解01背包，活结点表的构造原则

在使用分支限界法求解01背包问题时，需要构建一个活结点表来记录每个活结点的状态和可能的扩展方向，从而实现对搜索过程的优化。

活结点表的构造原则主要包括以下几点：

1. 活结点表应该包含当前搜索树中所有未扩展的结点。

2. 对于每个活结点，应该记录其当前的状态，包括已经选择的物品、当前的背包容量和当前的价值。

3. 对于每个活结点，应该计算其上界（也称为可行上界或最优上界），并将其作为下一个扩展结点的优先级。

4. 活结点表应该按照上界从大到小的顺序排序，以便优先扩展上界更高的结点，从而更快地找到最优解。如果两个结点的上界相同，则可以按照其他规则进行排序，如选择当前背包容量更小的结点。

5. 活结点表应该支持快速的插入和删除操作，以便在搜索过程中动态更新。

通过遵循以上原则，可以构建一个高效的活结点表，从而加速分支限界法求解01背包问题的过程。

相关问题

优先队列分支限界法求解01背包

### 使用优先队列和分支限界法解决01背包问题

#### 算法概述
分支限界法是一种通过构建部分解空间树来寻找最优解的方法。对于01背包问题，该方法利用优先队列为节点分配优先级并选择最有希望的部分解继续扩展。为了提高效率，在遍历过程中会计算当前路径的价值上限作为剪枝条件[^1]。

#### 关键概念解释
- **活结点**：尚未被完全处理的子集。
- **死结点**：已经完成探索或不可能产生更优解的子集。
- **上界估计函数**：用来预测如果沿着这条路线走下去可能获得的最大价值，以此决定是否值得进一步考察此路线下方的其他可能性[^2]。

#### 实现思路
采用广度优先策略配合最大堆（即大根堆），每次从未访问过的节点中挑选具有最高预期效益者先行深入研究；当遇到新的可行方案时，则将其加入待查列表等待后续评估。与此同时，保持记录迄今为止发现的最佳整数规划解答及其对应总重量与物品集合。

#### C语言代码示例
下面给出一段基于上述原理编写的C程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct {
    int weight;
    double value;
} Item;

// 定义一个结构体表示每个状态 (剩余容量, 当前价值, 已选物品索引)
typedef struct State {
    int capacity;
    double profit;
    int level; // 物品编号
} State;

void swap(State* a, State* b) {
    State t = *a;
    *a = *b;
    *b = t;
}

double bound(int n, const Item items[], State state) {
    if(state.capacity <= 0){
        return 0;
    }
    
    int j=state.level+1,k=n-1;
    double totalWeight=state.capacity,totalValue=state.profit;
  
    while(j<=k && items[j].weight<=totalWeight){ 
        totalWeight-=items[j++].weight;
        totalValue+=items[j-1].value;
    }

    if(j<=k){
        totalValue+=(totalWeight/items[j].weight)*items[j].value;
    } 

    return totalValue;
}

int cmp(const void*a,const void*b){
    return ((Item*)b)->value - ((Item*)a)->value;
}

void knapsack(int n, Item items[], int W, double &maxProfit,int bestSet[]){
    qsort(items,n,sizeof(Item),cmp);
    maxProfit = 0.0;
    State queue[n];
    int front=-1,rear=-1;
    State u,v;
    v.capacity=W;
    v.profit=0.0;
    v.level=-1;
    rear++;
    queue[rear]=v;

    while(front!=rear){
        v=queue[++front];

        u=v;
        ++u.level;
        
        if(u.level>=n){
            continue;
        }

        if((u.capacity-items[u.level].weight)>=0){
            u.capacity -= items[u.level].weight;
            u.profit += items[u.level].value;
            
            if(u.profit>maxProfit){
                maxProfit=u.profit;
                
                for(int i=0;i<u.level;++i){
                    bestSet[i]=(bestSet[i]|(u.capacity<items[i].weight));
                }
                bestSet[u.level]=1;
            }
            
            double tempBound=bound(n,items,u);

            if(tempBound>maxProfit){
                rear++;
                queue[rear]=u;
            }
        }

        u=v;
        ++u.level;
        if(bound(n,items,u)>maxProfit){
            rear++;
            queue[rear]=u;
        }
    }
}

这段代码实现了使用优先队列和分支限界法求解01背包问题的功能。其中`knapsack()` 函数接收参数 `n`, 表示有几件商品可供选择；数组 `items[]` 存储每一件商品的信息；以及背包所能承受的最大载重 `W`. 输出结果保存于全局变量 `maxProfit` 和 `bestSet[]`.

分支限界法求解01背包的优先级定义

在分支限界法求解01背包问题时，优先级定义通常是指活结点的上界值。每个活结点表示了一个还未完全确定的解，其上界值表示在这个活结点下，能够得到的最优解的上界。因此，优先扩展上界值更大的活结点，可以更快地找到最优解。

具体来说，在求解01背包问题时，每个活结点表示了一个部分解（即已经选择的一部分物品），其上界值根据当前部分解的价值和剩余容量，估计出能够得到的最大价值。因此，优先扩展上界值更大的活结点，可以更快地找到价值更高的解。

需要注意的是，上界值的计算需要快速、准确，并且尽可能地接近真实最优解。因此，通常需要采用一些优化技巧，如松弛上界、线性规划、贪心算法等，来计算活结点的上界值。