证明两个可测集的交也是可测集
时间: 2023-09-07 17:05:01 浏览: 139
### 回答1:
设 $(\Omega,\mathcal{F})$ 是一个可测空间,$A,B\in \mathcal{F}$ 是两个可测集。我们需要证明 $A\cap B\in \mathcal{F}$。
由于 $A$ 和 $B$ 都是可测集,因此它们的补集 $A^c$ 和 $B^c$ 也是可测集。因为
$$(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$$
所以 $(A\cap B)^c$ 是可测集的并集,因此 $(A\cap B)^c$ 是可测集。
由于 $\mathcal{F}$ 是一个 $\sigma$-代数,因此它对补运算和可数并运算封闭,因此 $A\cap B = ((A\cap B)^c)^c$ 是可测集。
因此,两个可测集的交也是可测集。
### 回答2:
我们可以通过引入逐点收敛的序列来证明两个可测集的交也是可测集。
设A和B是两个可测集。我们定义一个序列{An}如下:
An = A ∩ Bn for n = 1, 2, 3, ...
其中,Bn = B × [-n, n],即将集合B沿着y轴方向扩展至区间[-n, n]。
由于A和B都是可测集,根据可测集的定义,可以得到An是可测集。而Bn作为有限个可测集的笛卡尔积,亦是可测集。因此,An是可测集的交。
接下来,我们需要证明{An}是逐点收敛的。即对于任意x,当n趋于无穷大时,An(x)收敛至A(x) ∩ B(x),其中An(x)表示序列中第n个集合An中包含x的情况,A(x)与B(x)分别表示集合A和B中包含x的情况。
对于x,若x在An中,则x同时在A和Bn中,且由于Bn逐渐扩展,当n趋于无穷大时,x一定在B中。因此,当n趋于无穷大时,An(x) = A(x) ∩ B(x)。
根据逐点收敛的定义,我们可以得出交集A ∩ B = lim(n→∞) An是可测集。
综上所述,我们证明了两个可测集的交也是可测集。