根号N * 2范数大于等于1范数
时间: 2023-08-04 20:03:18 浏览: 223
对于一个向量 $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$,其 $1$ 范数为 $||x||_1=|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|$,$2$ 范数为 $||x||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$。
现在要证明 $\sqrt{n}||x||_2 \geq ||x||_1$,即 $\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2} \geq |x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|$。
我们可以将 $|x_i|$ 拆分成 $x_i$ 和 $-x_i$,然后将它们分别加起来:$|x_i|=x_i+(-x_i) \geq \frac{1}{\sqrt{n}}x_i+\frac{1}{\sqrt{n}}(-x_i)=\frac{2}{\sqrt{n}}|x_i|$。将其代入原式可得:
$$\begin{aligned}
\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2} &\geq |x_1|+|x_2|+\dots+|x_n| \\
&\geq \frac{2}{\sqrt{n}}(|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|) \\
&\geq \frac{2}{\sqrt{n}}(\frac{1}{2}|x_1|+\frac{1}{2}|x_2|+\dots+\frac{1}{2}|x_n|) \\
&=\frac{2}{\sqrt{n}}(\frac{|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|}{\sqrt{n}}) \\
&=\frac{2}{\sqrt{n}}||x||_1 \\
\end{aligned}$$
因此,$\sqrt{n}||x||_2 \geq ||x||_1$。证毕。
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