非线性支持向量机与核函数的模型

非线性支持向量机（Nonlinear Support Vector Machines，简称非线性SVM）是基于支持向量机（Support Vector Machines，简称SVM）的一种变体，可以处理非线性分类问题。核函数是非线性SVM的关键技术之一，通过将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。

非线性SVM的模型可以表示为：

$$
f(x) = \sum_{i=1}^{n}\alpha_iy_iK(x,x_i)+b
$$

其中，$x$ 是输入数据，$\alpha_i$ 是拉格朗日乘子，$y_i$ 是数据标签，$K(x,x_i)$ 是核函数，$b$ 是偏置项。核函数可以是多项式核函数、高斯核函数、径向基函数等。

核函数的作用是将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。常用的核函数有：

1. 多项式核函数：

$$
K(x,x_i) = (x^Tx_i + c)^d
$$

其中，$c$ 是常数，$d$ 是多项式的次数。

2. 高斯核函数：

$$
K(x,x_i) = \exp(-\frac{\|x-x_i\|^2}{2\sigma^2})
$$

其中，$\sigma$ 是高斯核函数的宽度参数。

3. 径向基函数：

$$
K(x,x_i) = \exp(-\gamma\|x-x_i\|)
$$

其中，$\gamma$ 是径向基函数的宽度参数。

这些核函数都可以将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分。非线性SVM通过最大化分类间隔，找到最优的超平面来完成分类任务。