支持向量机：核函数详解与应用

"本文主要介绍了支持向量机中的核函数概念，包括线性核函数、高斯核函数和多项式核函数，以及核函数的作用和Mercer定理。" 支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种广泛应用的监督学习算法，特别适合于小样本和非线性分类问题。在SVM中，核函数扮演着至关重要的角色，它能够将原始数据从低维空间映射到高维空间，以便在高维空间中找到一个超平面进行线性分类，即使原始空间中的数据是非线性可分的。 1. **线性核函数**：线性核函数是最简单的核函数，其形式为`K(x, z) = x·z`，即原始特征向量的内积。在数据线性可分的情况下，使用线性核函数就能有效地解决问题。但当数据线性不可分时，线性核函数的性能可能会下降。 2. **高斯核函数（RBF核）**：高斯核函数也称为径向基函数核或高斯核，表达式为`K(x, z) = exp(-γ||x - z||^2)`，其中γ是调整函数宽度的参数。高斯核函数能够创建一个非线性的决策边界，使得原本在低维空间中线性不可分的数据在高维空间变得可分。其效果类似于在数据点周围放置一个高斯分布，相似度随着距离增加而指数衰减。 3. **多项式核函数**：多项式核函数通常写作`K(x, z) = (x·z + c)^d`，其中c是常数项，d是多项式的阶数。当d=1时，多项式核函数退化为线性核。通过调整d的值，可以改变数据的非线性程度。多项式核函数在某些情况下可以达到与高斯核类似的效果，但可能面临过拟合的风险。 核函数的选择直接影响到SVM的分类性能。核函数的选取原则通常基于对数据分布的理解和经验。对于线性可分问题，线性核可能足够；对于复杂的非线性问题，高斯核和多项式核可能更合适。 4. **Mercer定理**：Mercer定理是核函数理论的基础，它指出，如果一个函数满足一定的条件（如对称性和半正定性），那么它可以被用来作为一个有效的核函数。Mercer定理保证了使用核函数进行的计算在高维空间中等价于直接计算映射后的特征向量的内积，从而避免了实际进行高维空间的计算，大大提高了效率。 5. **计算效率与核函数的等价性**：通过核函数，我们可以避免直接计算映射后的高维特征内积，转而计算原始低维特征的内积或其他形式的组合。例如，高斯核函数的计算只需要知道原始特征向量之间的欧氏距离，而多项式核函数可以通过计算原始特征的内积的幂次得到。 6. **核函数的相似度解释**：核函数的值可以被视为特征向量x和z的相似度度量。例如，高斯核函数的值随着x和z的接近而增大，表示它们在高维空间中的距离较近，从而可能属于同一类别。 支持向量机的核函数是解决非线性分类问题的关键，通过巧妙的映射和计算策略，能够在低维空间中实现高维空间的非线性决策边界，极大地扩展了SVM的应用范围。理解并选择合适的核函数对于优化SVM模型的性能至关重要。