给我一个LQR算法用matlab实现控制的例子及说明

LQR（线性二次型调节）是一种广泛使用的现代控制方法，它可以设计线性系统的最优控制器。下面是一个使用MATLAB实现LQR控制的例子及说明。

假设我们有一个由以下状态空间模型描述的系统：

$$\dot{x} = Ax + Bu$$

其中，$x$ 是系统状态，$A$ 是状态矩阵，$B$ 是输入矩阵，$u$ 是系统输入。我们的目标是设计一个最优控制器，使得系统输出 $y$ 最小化。

首先，我们需要定义系统的状态矩阵 $A$ 和输入矩阵 $B$，以及目标输出矩阵 $C$。在这个例子中，我们将系统建模为一个单自由度质点弹簧阻尼器系统，状态矩阵 $A$ 和输入矩阵 $B$ 如下：

m = 1;          % 质量
k = 10;         % 弹性系数
b = 1;          % 阻尼系数
A = [0 1; -k/m -b/m];
B = [0; 1/m];

我们的目标是控制系统的位置和速度，因此我们定义目标输出矩阵 $C$ 如下：

C = [1 0; 0 1];

接下来，我们需要计算系统的最优控制器增益矩阵 $K$。我们可以使用 MATLAB 的 `lqr` 函数来计算 $K$：

Q = diag([1 1]);    % 状态权重矩阵
R = 1;              % 输入权重矩阵
[K,S,e] = lqr(A,B,Q,R);

其中，$Q$ 是状态权重矩阵，$R$ 是输入权重矩阵，$S$ 是代表系统状态和输入的协方差矩阵，$e$ 是系统特征值。在这个例子中，我们将状态权重设置为单位矩阵，输入权重设置为标量 1。

最后，我们需要将 $K$ 矩阵应用于系统，以实现最优控制器。我们可以使用 MATLAB 的 `ss` 函数创建状态空间模型，并使用 `sim` 函数模拟系统的响应：

sys = ss(A-B*K, B, C, 0);
t = 0:0.1:10;
u = zeros(size(t));
u(5:end) = 1;
[y,t,x] = lsim(sys,u,t);
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'--')
legend('位置','速度')

在这个例子中，我们定义了一个简单的阶跃输入，然后使用 `lsim` 函数模拟系统的响应。下图显示了系统的位置和速度随时间的变化：


可以看到，控制器成功地将系统稳定在目标位置，并且在达到目标位置后，速度也被控制在零附近。这个例子说明了如何使用 MATLAB 实现 LQR 控制器来控制线性系统。