本节中我们给出一个简单例子说明所获得的结果，考虑如下由分数布朗运动驱动的随机微分方程：dX(t)=(-X(t)+1/3X(t))dt+e^-2tdB^H(t)的稳定性的python代码 其中，.

下面是利用Python对该随机微分方程的稳定性进行分析的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义参数
T = 1  # 终止时间
N = 5000  # 离散化步数
dt = T / N  # 离散化时间步长
H = 0.5  # 长记忆分数布朗运动的Hurst指数
sigma = 1  # 随机项的系数

# 定义函数
def f(x):
    return (-x + 1/3*x)

# 初始化
X = np.zeros(N+1)
dBH = np.zeros(N+1)
X[0] = 1  # 初始值

# 生成随机项
t = np.linspace(0, T, N+1)
R = np.zeros(N)
for i in range(1, N):
    R[i] = (t[i] - t[i-1])**H * np.random.normal(0, 1)
    dBH[i+1] = dBH[i] + R[i]

# 数值解求解
for i in range(N):
    X[i+1] = X[i] + f(X[i])*dt + sigma*np.exp(-2*t[i])*R[i]

# 绘制图像
plt.plot(t, X)
plt.title('Stability Analysis of a Random Differential Equation')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('X(t)')
plt.show()

代码首先定义了该随机微分方程的参数，包括终止时间T、离散化步数N、离散化时间步长dt、长记忆分数布朗运动的Hurst指数H、随机项的系数sigma，然后定义了函数f(x)表示微分方程右侧的函数。

接着代码初始化了X和dBH两个数组，其中X用于存储微分方程的解，dBH用于存储长记忆分数布朗运动的离散化值。然后代码生成了随机项R，通过累加得到dBH，并用数值方法逐步求解微分方程的解X。

最后，代码绘制出了微分方程的解随时间的变化趋势图。