广义非线性薛定谔方程的频域公式

广义非线性薛定谔方程的频域公式可以通过傅里叶变换得到。具体来说，设波函数在时域中的表示为 $\psi(x,t)$，在频域中的表示为 $\widetilde{\psi}(k,\omega)$，则它们之间的关系可以表示为：

$$
\widetilde{\psi}(k,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x,t) e^{-ikx-i\omega t} dx dt
$$

其中 $k$ 表示波数，$\omega$ 表示角频率。同样地，广义非线性薛定谔方程也可以在频域中表示：

$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \widetilde{\psi}(k,\omega) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \widetilde{\psi}(k,\omega) + \widetilde{V}(k) * \widetilde{\psi}(k,\omega) + \widetilde{U}(|k'-k|) * \widetilde{\psi}(k',\omega) \widetilde{\psi}^*(k-k',\omega)
$$

其中 $\widetilde{V}(k)$ 表示势能在频域中的表示，$*$ 表示卷积运算，$\widetilde{U}(|k'-k|)$ 表示非线性项在频域中的表示。这个方程与时域的广义非线性薛定谔方程是等价的，只是在不同的表示下而已。

相关问题

matlab分步傅里叶法求解广义非线性薛定谔方程

对于广义非线性薛定谔方程的求解，可以使用分步傅里叶法。下面是使用MATLAB来实现的一般步骤：

1. 将广义非线性薛定谔方程离散化为差分方程。可以使用有限差分法或者其他适当的方法将偏微分方程转化为差分方程。

2. 使用傅里叶变换将差分方程转化为频域方程。在MATLAB中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换。

3. 引入时间步长和空间步长，进行时间和空间离散化。根据差分方程的离散形式，使用适当的差分格式进行时间和空间离散化。

4. 使用迭代方法求解离散化后的方程。可以使用常见的迭代方法，如迭代法、牛顿法等，来求解离散化后的方程。

5. 根据需要，进行适当的后处理操作。例如，可以计算波函数的模方来得到概率密度分布。

需要注意的是，广义非线性薛定谔方程的求解过程可能较为复杂，具体实现可能需要根据具体问题进行调整和优化。以上只是一个大致的步骤，具体实现还需要根据具体情况进行调整。

分步傅里叶法求解广义非线性薛定谔方程

分步傅里叶法是一种求解偏微分方程的数值方法，可以用于求解广义非线性薛定谔方程。在这个方法中，我们首先将方程进行空间离散化，将空间域划分为多个小区间。然后，我们使用傅里叶变换将方程转化为频域上的代数方程。这样，我们就可以通过求解代数方程来得到方程的数值解。

在分步傅里叶法中，我们将时间域划分为多个小时间步长，并在每个时间步长内进行迭代求解。在每个时间步长内，我们首先使用傅里叶变换将方程转化为频域上的代数方程。然后，我们使用数值方法（如有限差分法或有限元法）来求解这个代数方程。最后，我们使用傅里叶逆变换将频域上的解转化回时间域，得到方程的数值解。

在求解广义非线性薛定谔方程时，我们可以根据具体的问题选择合适的傅里叶变换形式。根据文献【12】中的讨论，我们可以对傅里叶变换的形式进行选择。具体选择的依据可能涉及到方程的性质、数值计算的效率等因素。

总之，分步傅里叶法是一种求解广义非线性薛定谔方程的数值方法，通过将方程转化为频域上的代数方程，并使用数值方法进行求解，最后将解转化回时间域，得到方程的数值解。具体选择傅里叶变换的形式可以根据具体问题进行讨论和选择。
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* [CUMCM→MCM/ICM→NPMCM：关于国赛(全国大学生、研究生、博士研究生数学建模竞赛)和美赛中的数学的专业词汇...](https://blog.csdn.net/qq_41185868/article/details/80380162)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
- *3* [分步傅里叶法求解非线性薛定谔方程的改进及其数值计算](https://blog.csdn.net/weixin_42297347/article/details/113693798)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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