广义非线性薛定谔方程的频域公式

广义非线性薛定谔方程的频域公式可以通过傅里叶变换得到。具体来说，设波函数在时域中的表示为 $\psi(x,t)$，在频域中的表示为 $\widetilde{\psi}(k,\omega)$，则它们之间的关系可以表示为：

$$
\widetilde{\psi}(k,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x,t) e^{-ikx-i\omega t} dx dt
$$

其中 $k$ 表示波数，$\omega$ 表示角频率。同样地，广义非线性薛定谔方程也可以在频域中表示：

$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \widetilde{\psi}(k,\omega) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \widetilde{\psi}(k,\omega) + \widetilde{V}(k) * \widetilde{\psi}(k,\omega) + \widetilde{U}(|k'-k|) * \widetilde{\psi}(k',\omega) \widetilde{\psi}^*(k-k',\omega)
$$

其中 $\widetilde{V}(k)$ 表示势能在频域中的表示，$*$ 表示卷积运算，$\widetilde{U}(|k'-k|)$ 表示非线性项在频域中的表示。这个方程与时域的广义非线性薛定谔方程是等价的，只是在不同的表示下而已。