用python实现给定householder矩阵的qr分解

如果已经给定了Householder矩阵，那么我们可以直接用它来进行QR分解。下面是用Python实现给定Householder矩阵的QR分解的代码：

import numpy as np

def qr_given_H(H):
    m, n = H.shape
    R = H.copy()
    Q = np.eye(m)
    for j in range(n):
        u = R[j:, j]
        Qj = np.eye(m)
        Qj[j:, j:] = np.eye(m-j) - 2 * np.outer(u, u)
        Q = Q @ Qj.T
        R = Qj @ R
    return Q, R

输入参数H是一个$m \times n$的Householder矩阵，输出结果是QR分解的Q和R矩阵。

QR分解的基本思路是，将原矩阵$A$分解成$Q$和$R$两个矩阵的乘积，其中$Q$是一个$m \times m$的正交矩阵，$R$是一个$m \times n$的上三角矩阵。而给定的Householder矩阵$H$实际上就是$Q$的乘积，因此我们可以直接利用它来计算$Q$和$R$。

具体做法是，对于矩阵$H$的第$j$列，取出它的下三角部分作为向量$u$，构造一个$m \times m$的矩阵$Q_j = I - 2uu^T$，使得$Q_j$将$H$的第$j$列向量变成一个倍长的向量，使得这个向量的第一个元素为$||u||$。然后将$Q_j$的转置乘到$Q$的右边，将$Q_j$乘到$R$的左边，得到新的矩阵$Q^{(1)}$和$R^{(1)}$。重复上述过程，对$R^{(1)}$的第$j+1$列到第$n$列，分别构造矩阵$Q_j$，并将$Q_j$的转置乘到$Q^{(1)}$的右边，将$Q_j$乘到$R^{(1)}$的左边，得到新的矩阵$Q^{(2)}$和$R^{(2)}$。重复直到处理完所有的列，最终得到的$Q$矩阵就是$H$的乘积，而$R$矩阵就是$R^{(n-1)}$。

以上就是用Python实现给定Householder矩阵的QR分解的基本思路和代码实现。