MATLAB对角矩阵的求Hessenberg分解：理解Hessenberg分解的步骤和应用

# 1. Hessenberg分解概述**

Hessenberg分解是一种矩阵分解技术，它将一个方阵分解为一个上Hessenberg矩阵和一个酉矩阵。上Hessenberg矩阵是一种特殊的三角矩阵，其对角线以下只有一条非零元素。Hessenberg分解在数值线性代数中具有广泛的应用，因为它可以将复杂的问题简化为更简单的形式，从而提高计算效率。

在Hessenberg分解中，给定一个方阵A，将其分解为A = QH，其中Q是一个酉矩阵（即满足Q*Q^T = I），H是一个上Hessenberg矩阵。Hessenberg分解的优点在于，它可以将A的特征值问题转换为一个更易于求解的上Hessenberg矩阵的特征值问题。

# 2. Hessenberg分解的理论基础

### 2.1 Hessenberg矩阵的定义和性质

**定义：**

Hessenberg矩阵是一种特殊的方阵，其特征在于其主对角线以下的元素均为零，即：

A = [a_11 a_12 ... a_1n]
    [a_21 a_22 ... a_2n]
    [0    a_32 ... a_3n]
    [0    0    ... a_4n]
    ...
    [0    0    ... a_nn]

其中，`a_ij` 表示第 `i` 行第 `j` 列的元素。

**性质：**

* Hessenberg矩阵的秩最大为 `n-1`。
* Hessenberg矩阵的特征多项式可以表示为：

p(λ) = (λ - a_11)(λ - a_22) ... (λ - a_nn) - ∏_{i=1}^{n-1} a_i,i+1

* Hessenberg矩阵的特征值可以表示为其主对角线上的元素。

### 2.2 Hessenberg分解的数学原理

Hessenberg分解将一个一般的方阵 `A` 分解为一个上Hessenberg矩阵 `H` 和一个单位下三角矩阵 `Q`：

A = QHQ^T

其中，`Q` 的列向量是 `A` 的正交特征向量。

Hessenberg分解的数学原理基于以下定理：

**定理：**

任何方阵 `A` 都可以分解为 `A = QHQ^T`，其中 `Q` 是正交矩阵，`H` 是上Hessenberg矩阵。

**证明：**

设 `A` 的特征值和特征向量分别为 `λ_1, λ_2, ..., λ_n` 和 `v_1, v_2, ..., v_n`。构造正交矩阵 `Q`，其列向量为 `v_1, v_2, ..., v_n`。则：

AQ = [λ_1v_1 λ_2v_2 ... λ_nv_n]

令 `H = Q^TAQ`，则：

H = [λ_1 0 ... 0]
    [h_21 λ_2 ... 0]
    [0 h_32 λ_3 ... 0]
    ...
    [0 0 ... λ_n]

其中，`h_ij` 表示 `H` 的第 `i` 行第 `j` 列的元素。

因此，`A = QHQ^T`。

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