MATLAB对角矩阵的求Schur分解：理解Schur分解的步骤和应用

# 1. Schur分解简介**

Schur分解是一种矩阵分解方法，它将一个方阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。Schur分解在数值计算中有着广泛的应用，例如特征值和特征向量的计算、矩阵的相似性判定以及求解线性方程组等。

在MATLAB中，可以通过使用`eig`函数或`schur`函数来求解Schur分解。`eig`函数返回矩阵的特征值和特征向量，而`schur`函数返回矩阵的Schur分解形式。

# 2. Schur分解的理论基础

### 2.1 Schur分解的定义和性质

**定义：**

对于一个复数方阵 **A**，存在一个酉矩阵 **U** 和一个上三角矩阵 **T**，使得：

A = U T U^H

其中，**U** 的列向量称为 **A** 的 Schur 向量，**T** 的对角线元素称为 **A** 的 Schur 值。

**性质：**

* **酉相似性：** 酉矩阵 **U** 保持内积不变，因此 **A** 和 **T** 酉相似。
* **特征值不变性：** **T** 的对角线元素是 **A** 的特征值。
* **特征向量正交性：** **U** 的列向量是 **A** 的特征向量，并且相互正交。
* **三角化：** **T** 是一个上三角矩阵，因此 **A** 可以被三角化。

### 2.2 Schur分解的求解方法

**方法 1：QR 算法**

QR 算法是一种迭代算法，通过一系列 QR 分解和反向替换来求解 Schur 分解。算法步骤如下：

1. 将 **A** 分解为 **A = QR**，其中 **Q** 是酉矩阵，**R** 是上三角矩阵。
2. 将 **R** 分解为 **R = QS**，其中 **S** 是酉矩阵，**Q** 是上三角矩阵。
3. 令 **A_1 = S^H A S**。
4. 重复步骤 1-3，直到 **A_n** 成为 Schur 形式。

**方法 2：直接求解**

对于小规模矩阵，可以使用直接求解的方法来计算 Schur 分解。具体步骤如下：

1. 计算 **A** 的特征值 **λ_1, λ_2, ..., λ_n**。
2. 对于每个特征值 **λ_i**，求解方程组 **(A - λ_i I) x_i = 0**，得到对应的特征向量 **x_i**。
3. 规范化特征向量，得到 Schur 向量 **u_i = x_i / ||x_i||**。
4. 构造酉矩阵 **U = [u_1, u_2, ..., u_n]**。
5. 令 **T = U^H A U**，则 **T** 是 Schur 形式。

**代码块：**

% QR 算法求 Schur 分解
[Q, R] = qr(A);
while norm(R - R') > eps
    [Q, R] = qr(R);
    A = Q' * A * Q;
end

% 直接求解法求 Schur 分解
lambda = eig(A);
U = zeros(size(A));
for i = 1:length(lambda)
    x = A - lambda(i) * eye(size(A));
    [~, R] = qr(x