MATLAB对角矩阵的求QR分解：揭示QR分解的步骤和应用

# 1. MATLAB中的QR分解简介**

QR分解是一种矩阵分解技术，将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵。在MATLAB中，QR分解广泛用于求解线性方程组、最小二乘问题和特征值计算。

QR分解的MATLAB实现主要有两种算法：标准算法和改进算法。标准算法通过一系列正交变换将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵，而改进算法则利用Householder变换或Givens变换来提高效率。

# 2. QR分解的理论基础

### 2.1 正交矩阵和反射矩阵

**正交矩阵**

正交矩阵是一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即：

Q^T Q = I

其中，Q 是正交矩阵，I 是单位矩阵。

正交矩阵具有以下性质：

* 其列向量是单位正交向量。
* 其行列式为 1 或 -1。
* 其逆矩阵等于其转置矩阵。

**反射矩阵**

反射矩阵是一个对称矩阵，其对角线元素为 1，非对角线元素为 0，即：

R = [1, 0, ..., 0]
    [0, 1, ..., 0]
    ...
    [0, 0, ..., 1]

反射矩阵具有以下性质：

* 其逆矩阵等于其转置矩阵。
* 其行列式为 1。
* 其作用是将向量绕其对称轴反射。

### 2.2 QR分解的数学推导

QR分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，即：

A = QR

其中，A 是一个 m x n 矩阵，Q 是一个 m x m 正交矩阵，R 是一个 m x n 上三角矩阵。

QR分解的数学推导基于以下步骤：

**步骤 1：构造 Householder 反射矩阵**

对于 A 的第 k 列，构造一个 Householder 反射矩阵 Hk，使其将 A 的第 k 列的第 k 个元素以下元素归零，即：

Hk = I - 2 * v * v^T

其中，v 是一个 m x 1 向量，其前 k 个元素为 0，第 (k+1) 个元素为 1，其余元素为：

v(i) = -A(i, k) / sqrt(sum(A(i, k:n)^2))

**步骤 2：应用 Householder 反射矩阵**

将 Hk 应用于 A，得到：

A' = Hk * A

此时，A' 的第 k 列的第 k 个元素以下元素为 0。

**步骤 3：重复步骤 1 和 2**

对于 A' 的第 (k+1) 列，重复步骤 1 和 2，构造 Householder 反射矩阵 Hk+1 并将其应用于 A'，得到：

A'' = Hk+1 * A'

此时，A'' 的第 (k+1) 列的第 (k+1) 个元素以下元素为 0。

**步骤 4：继续重复**

重复步骤 3，直到 A 被分解为一个上三角矩阵 R。

**步骤 5：构造正交矩阵 Q**

将所有 Householder 反射矩阵相乘，得到正交矩阵 Q：

Q =