某种工程设备的役龄为 4 年, 每年年初都面临着是否更新的问题: 若卖旧买新, 就要支付一定的购置费用; 若继续使用, 则要支付更多的维护费用, 且使用年限越长维护费用越多. 役龄期内每年的年初购置价格, 当年维护费用及年末剩余净值如下表所示. 为该设备制定一个 4 年役龄期内的更新计划, 使总的支付费用最少.\n\n年份\t1\t2\t3\t4\n年初购置价格 (万元）\t25\t26\t28\t31\n当年维护费用 (万元）\t10\t14\t18\t26\n年末剩余净值 (万元）\t20\t16\t13\t11 用Matlab程序解答以上问题

以下是用Matlab程序解决该问题的步骤：

1. 定义役龄期内每年的年初购置价格、当年维护费用和年末剩余净值三个向量：

p = [25, 26, 28, 31]; % 年初购置价格
a = [10, 14, 18, 26]; % 当年维护费用
r = [20, 16, 13, 11]; % 年末剩余净值

2. 构造邻接矩阵，其中每个元素表示从第 i 年到第 j 年的最小费用：

b = zeros(5, 5); % 初始化邻接矩阵
for i = 1:4
    for j = i+1:5
        b(i, j) = p(i) + sum(a(i:j-1)) - r(j-1);
    end
end

3. 构造有向无环图，并使用Dijkstra算法求解最短路径：

G = digraph(b); % 构造有向无环图
[~, path] = shortestpath(G, 1, 5); % 使用Dijkstra算法求解最短路径

4. 输出最小费用和最短路径：

c = sum(b(sub2ind(size(b), path(1:end-1), path(2:end)))); % 计算最小费用
fprintf('所求的费用最小值为：%d\n', c);
fprintf('最短路径为：%d -> %d -> %d -> %d -> %d\n', path);

完整的Matlab程序如下：

p = [25, 26, 28, 31]; % 年初购置价格
a = [10, 14, 18, 26]; % 当年维护费用
r = [20, 16, 13, 11]; % 年末剩余净值

b = zeros(5, 5); % 初始化邻接矩阵
for i = 1:4
    for j = i+1:5
        b(i, j) = p(i) + sum(a(i:j-1)) - r(j-1);
    end
end

G = digraph(b); % 构造有向无环图
[~, path] = shortestpath(G, 1, 5); % 使用Dijkstra算法求解最短路径

c = sum(b(sub2ind(size(b), path(1:end-1), path(2:end)))); % 计算最小费用
fprintf('所求的费用最小值为：%d\n', c);
fprintf('最短路径为：%d -> %d -> %d -> %d -> %d\n', path);