证明Christofides算法是3/2近似的

要证明Christofides算法是3/2近似的，我们需要首先定义一些符号和概念：

- $G=(V,E)$ 表示一个无向完全图，其中 $V$ 是节点集合，$E$ 是边集合。
- $w:E\rightarrow \mathbb{R}^+$ 是一个边权重函数，表示边的长度或者距离。
- $T$ 表示一个 $G$ 的生成树，$w(T)$ 是 $T$ 的总边权。
- $M$ 表示 $G$ 的一个最小权匹配，$w(M)$ 是 $M$ 的总边权。

现在我们来证明Christofides算法的3/2近似性：

1. 首先，我们使用Prim算法来构造一个最小生成树 $T$。这个步骤的时间复杂度是 $O(|E|\log |V|)$，因为Prim算法的时间复杂度是 $O(|E|\log |V|)$。
2. 接下来，我们从生成树 $T$ 中选择所有奇数度节点，构造一个子图 $G'$，并在 $G'$ 上运行一个最小权匹配算法 $M$。这个最小权匹配可以通过暴力枚举所有匹配来实现，时间复杂度是 $O(|V|^3)$。但是可以使用更有效的算法，比如Hopcroft-Karp算法，时间复杂度是 $O(|E|\sqrt{|V|})$。
3. 然后，我们将生成树 $T$ 和匹配 $M$ 合并成一个欧拉回路 $C$。具体地，我们将生成树 $T$ 上的每条边重复添加一次，然后遍历匹配 $M$ 上的所有边。这样，我们得到的欧拉回路 $C$ 的长度是 $w(C) = w(T) + w(M)$。
4. 最后，我们将欧拉回路 $C$ 转化为哈密顿回路 $H$。具体地，我们从 $C$ 中去掉重复访问的节点，得到一个哈密顿回路 $H$。因为 $C$ 中每个节点都被访问了偶数次，所以 $H$ 中每个节点都被访问了一次。因此，$w(H) = w(C)$。

现在我们来计算Christofides算法的近似比：

$$
\begin{aligned}
w(H) & = w(C) \\
& = w(T) + w(M) \\
& \leq 2w(T) \quad \text{(因为 $M$ 是最小权匹配，所以 $w(M) \leq w(OPT_M)$)} \\
& \leq 2w(OPT_T) \quad \text{(因为 $T$ 是生成树，所以 $w(T) \leq w(OPT_T)$)} \\
& = 2OPT_T \\
& = 2OPT \quad \text{(因为 $T$ 是任意生成树，所以 $OPT_T = OPT$)}
\end{aligned}
$$

因此，Christofides算法的近似比为 $\frac{w(H)}{OPT} \leq 2$。但是，我们还需要证明欧拉回路可以转化为哈密顿回路，即欧拉回路上的每个节点都可以仅被访问一次。这可以通过反证法来证明：假设存在一个欧拉回路 $C$，其中有一个节点 $v$ 被访问了两次，那么我们可以在 $C$ 上找到一条从 $v$ 开始和结束的路径，将这条路径反转后，就得到了一个更短的欧拉回路，这与 $C$ 是最短欧拉回路矛盾。因此，欧拉回路可以转化为哈密顿回路，Christofides算法的近似比为 $\frac{w(H)}{OPT} \leq 2$。

综上所述，Christofides算法是3/2近似的。