给定一个数字n，令x=n!，然后反复进行如下操作: 1.若x为偶数，则将x折半 (x=x/2) 2.若x为奇数，则操作结束 在操作结束时，试求一共折半了多少次

### 回答1：
我们可以观察到，每一次将x折半，都相当于把x的二进制表示向右移动一位。因此，我们可以通过计算n!的二进制表示中1的个数来得到折半的次数。

对于任意一个正整数x，x/2的二进制表示相当于将x的二进制表示中所有位向右移动一位，且最高位补0。如果x的最低位是0，则x/2与x的二进制表示相同，而如果x的最低位是1，则x/2的二进制表示相当于将x的二进制表示中最低位的1移动到了次低位。因此，对于任意一个正整数x，x/2的二进制表示中1的个数，等于x的二进制表示中1的个数除以2（向下取整）。

因此，要计算n!折半的次数，我们只需要计算n!的二进制表示中1的个数，然后除以2，即可得到折半的次数。

计算n!的二进制表示中1的个数有很多方法，其中一种简单的方法是通过分解质因数来计算。设n!=2^a * 3^b * 5^c * ...，则n!的二进制表示中1的个数等于a。因为每个因子2都会贡献一个1，而每个因子4会贡献一个额外的1，每个因子8会贡献两个额外的1，以此类推。因此，n!中因子2的个数就是n!的二进制表示中1的个数。

我们可以通过以下代码来实现这个算法：

### 回答2：
我们先讨论一下n!的末尾有多少个0。要得到一个0，我们必须要有一个5和一个2相乘。我们发现在1到n这个范围内，2的个数远远多于5的个数，因此我们只需要计算n!中有多少个5即可。

现在我们先来看看n!能够被2折半的次数。我们知道每个偶数都可以被2整除，而从1到n中偶数的个数恰好是n的一半，所以n!可以被2折半的次数就是n/2。

接下来我们来看看n!中有多少个5。我们先来看看从1到n中有多少个5的倍数，也就是n/5。但是还有一点需要注意的是，25、125、625等等也是5的倍数，而且它们能贡献更多的5。那么我们怎么计算有多少个25呢？我们只需要再次将n/5即可，因为25包含两个5。同样地，我们可以继续计算n/125、n/625等等。

因此，n!中的5的个数就是n/5 + n/25 + n/125 + ...。最终，我们可以得出n!可以被折半的次数就是n/2，因为2的个数远远超过5的个数。

### 回答3：
设折半的次数为k。

在第一次操作时，如果x为偶数，则折半后的数为x/2；如果x为奇数，则操作结束。所以第一次操作后，x肯定变为偶数。

在第二次操作时，如果折半后的数x/2为偶数，则继续折半得到x/4；如果x/2为奇数，则操作结束。所以第二次操作后，x可能变为偶数也可能变为奇数。

以此类推，第k次操作后，x可能变为偶数也可能变为奇数。

所以，第k次操作结束时，x一定变为奇数，即k是这个数n中包含的偶数的个数。

根据数学的规律，一个数n中包含的偶数的个数等于n除以2。所以，第k次操作结束时，x为奇数，k=(n/2)。

所以，给定一个数字n，进行折半操作后一共折半了k次，k=(n/2)。