用分离变量法求解一维波动方程，并绘制出数值解与误差图像的matlab程序

下面是使用分离变量法求解一维波动方程，并绘制出数值解与误差图像的 MATLAB 程序：

% 定义时间和空间参数
T = 0.5; % 时间长度
L = 10; % 区域长度
c = 1; % 波速

% 定义空间和时间步长
dx = 0.1; % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长

% 定义空间和时间网格
x = 0:dx:L; % 空间网格
t = 0:dt:T; % 时间网格

% 定义初始条件和边界条件
u0 = exp(-x.^2); % 初始条件
u = zeros(length(x), length(t)); % 初始化 u
u(:,1) = u0; % 将初始条件赋值给 u
u(1,:) = 0; % 左边界条件
u(end,:) = 0; % 右边界条件

% 循环求解差分方程
for n = 2:length(t)
    for i = 2:length(x)-1
        % 使用分离变量法求解 u(i,n)
        u(i,n) = 0;
        for j = 1:100 % 取前100项求和
            lambda = j*pi/L;
            C = 2*trapz(x, u0.*sin(lambda*x))/L; % 计算 C_j
            u(i,n) = u(i,n) + C*sin(lambda*x(i))*cos(c*lambda*t(n)); % 计算 u(i,n)
        end
    end
    
    % 更新边界条件
    u(1,n) = 0;
    u(end,n) = 0;
end

% 计算精确解
u_exact = zeros(length(x), length(t));
for n = 1:length(t)
    for i = 1:length(x)
        u_exact(i,n) = 0;
        for j = 1:100 % 取前100项求和
            lambda = j*pi/L;
            C = 2*trapz(x, u0.*sin(lambda*x))/L; % 计算 C_j
            u_exact(i,n) = u_exact(i,n) + C*sin(lambda*x(i))*cos(c*lambda*t(n)); % 计算精确解
        end
    end
end

% 绘制结果
[X, T] = meshgrid(x, t);
subplot(2,1,1);
surf(X, T, u');
title('数值解');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');
subplot(2,1,2);
surf(X, T, abs(u_exact'-u'));
title('误差');
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('误差');

程序中使用了分离变量法来求解一维波动方程，并计算了精确解。程序中的 `u` 数组存储了波函数在不同时间和空间位置的取值，程序使用嵌套循环逐个求解 $u(i,n)$ 的值，并最终将结果绘制成三维图形。程序中还计算了数值解与精确解之间的误差，并将误差图像绘制在了下半部分。需要注意的是，在程序中求解 $C_j$ 时使用了数值积分的方法，这里使用了 MATLAB 中的 `trapz` 函数进行计算。