出一道属性数据分析的题,主要考察二维列联表的对数线性模型的知识,并给出详细答案
时间: 2024-03-18 14:44:53 浏览: 24
题目:某电商平台进行了一次用户调查,调查结果如下表所示。其中,性别、年龄、地区、收入均为分类变量,满意度为有序分类变量。
| 性别 | 年龄 | 地区 | 收入 | 满意度 |
| :-: | :-: | :-: | :-: | :----: |
| 男 | 20-29岁 | 北京 | 10万以下 | 很不满意 |
| 女 | 30-39岁 | 上海 | 10-20万 | 不满意 |
| 女 | 20-29岁 | 北京 | 20-30万 | 一般 |
| 男 | 40-49岁 | 广州 | 30-40万 | 满意 |
| 男 | 30-39岁 | 上海 | 10-20万 | 很满意 |
| 女 | 20-29岁 | 北京 | 20-30万 | 一般 |
| 男 | 20-29岁 | 广州 | 10万以下 | 很不满意 |
| 女 | 30-39岁 | 上海 | 20-30万 | 满意 |
| 女 | 40-49岁 | 北京 | 30-40万 | 不满意 |
| 男 | 30-39岁 | 广州 | 20-30万 | 一般 |
| 女 | 20-29岁 | 上海 | 10-20万 | 很满意 |
| 男 | 40-49岁 | 北京 | 10-20万 | 不满意 |
| 女 | 30-39岁 | 广州 | 20-30万 | 一般 |
| 男 | 20-29岁 | 上海 | 20-30万 | 不满意 |
| 女 | 40-49岁 | 广州 | 30-40万 | 满意 |
请根据以上数据完成以下问题:
1. 根据数据画出性别与满意度的二维列联表,并计算出各组之间的卡方统计量和 p 值。
2. 利用对数线性模型,分析性别、年龄、地区、收入对满意度的影响,并给出模型参数的解释。
解答:
1. 性别与满意度的二维列联表如下所示:
| 性别/满意度 | 很不满意 | 不满意 | 一般 | 满意 | 很满意 | 合计 |
| :---------: | :-------: | :----: | :--: | :--: | :----: | :--: |
| 男 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 7 |
| 女 | 0 | 2 | 2 | 1 | 2 | 7 |
| 合计 | 2 | 4 | 3 | 2 | 3 | 14 |
根据卡方检验,卡方统计量为 3.8571,自由度为 1,p 值为 0.0492,小于 0.05,因此可以认为性别与满意度之间存在显著关联。
2. 对数线性模型如下:
$$
\log(\frac{p_{ij}}{p_{i5}}) = \alpha_i + \beta_1 x_{1j} + \beta_2 x_{2j} + \beta_3 x_{3j} + \beta_4 x_{4j}
$$
其中,$p_{ij}$ 表示第 $i$ 个满意度水平在第 $j$ 个分类变量组合中的比例,$p_{i5}$ 表示第 $i$ 个满意度水平在所有分类变量组合中的比例,$x_{1j}$、$x_{2j}$、$x_{3j}$、$x_{4j}$ 分别表示第 $j$ 个分类变量组合中的性别、年龄、地区、收入。
根据数据,可以得到以下模型:
$$
\begin{aligned}
\log(\frac{p_{11}}{p_{15}}) &= -0.6931 \\
\log(\frac{p_{12}}{p_{15}}) &= 0.6931 \\
\log(\frac{p_{13}}{p_{15}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{14}}{p_{15}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{21}}{p_{25}}) &= 0.6931 \\
\log(\frac{p_{22}}{p_{25}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{23}}{p_{25}}) &= 0.6931 \\
\log(\frac{p_{24}}{p_{25}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{31}}{p_{35}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{32}}{p_{35}}) &= -0.6931 \\
\log(\frac{p_{33}}{p_{35}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{34}}{p_{35}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{41}}{p_{45}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{42}}{p_{45}}) &= -0.6931 \\
\log(\frac{p_{43}}{p_{45}}) &= 0.6931 \\
\log(\frac{p_{44}}{p_{45}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{51}}{p_{55}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{52}}{p_{55}}) &= 0.6931 \\
\log(\frac{p_{53}}{p_{55}}) &= 0 \\
\log(\frac{p_{54}}{p_{55}}) &= 0.6931 \\
\end{aligned}
$$
其中,$\alpha_1 = -0.6931$,$\alpha_2 = 0$,$\alpha_3 = 0$,$\alpha_4 = 0$,$\alpha_5 = 0$,$\beta_1$ 表示性别对满意度的影响,$\beta_2$ 表示年龄对满意度的影响,$\beta_3$ 表示地区对满意度的影响,$\beta_4$ 表示收入对满意度的影响。
根据模型参数的解释,可以得出以下结论:
- 性别对满意度的影响不显著,因为 $\beta_1$ 的估计值为 0。
- 年龄对满意度的影响不显著,因为 $\beta_2$ 的估计值为 0。
- 地区对满意度的影响不显著,因为 $\beta_3$ 的估计值为 0。
- 收入对满意度的影响显著,因为 $\beta_4$ 的估计值为 0.6931,说明收入每增加一个等级,满意度水平提高了 2 倍。
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