出一道属性数据分析的题，主要考察三维列联表的独立性检验的知识，并给出详细答案

题目：某医院进行了一项研究，调查了患者的疾病类型、治疗方式和治愈情况，数据如下表所示。其中，疾病类型、治疗方式和治愈情况均为分类变量。

| 疾病类型 | 治疗方式 | 治愈 | 未治愈 |
| :-----: | :-----: | :--: | :----: |
| A型 | A疗法 | 23 | 7 |
| A型 | B疗法 | 35 | 15 |
| B型 | A疗法 | 18 | 12 |
| B型 | B疗法 | 12 | 8 |

请根据以上数据完成以下问题：

1. 根据数据画出疾病类型与治疗方式的二维列联表，并计算出各组之间的卡方统计量和 p 值。

2. 根据数据画出疾病类型、治疗方式和治愈情况的三维列联表，并进行独立性检验。

解答：

1. 疾病类型与治疗方式的二维列联表如下所示：

| 疾病类型/治疗方式 | A疗法 | B疗法 | 合计 |
| :----------------: | :---: | :----: | :--: |
| A型 | 23 | 35 | 58 |
| B型 | 18 | 12 | 30 |
| 合计 | 41 | 47 | 88 |

根据卡方检验，卡方统计量为 4.1667，自由度为 1，p 值为 0.041，小于 0.05，因此可以认为疾病类型与治疗方式之间存在显著关联。

2. 疾病类型、治疗方式和治愈情况的三维列联表如下所示：

| 疾病类型/治疗方式/治愈情况 | 治愈 | 未治愈 | 合计 |
| :------------------------: | :--: | :----: | :--: |
| A型/A疗法/ | 23 | 7 | 30 |
| A型/B疗法/ | 35 | 15 | 50 |
| B型/A疗法/ | 18 | 12 | 30 |
| B型/B疗法/ | 12 | 8 | 20 |
| 合计 | 88 | 42 | 130 |

进行独立性检验的步骤如下：

- 建立假设：

$H_0$: 疾病类型、治疗方式和治愈情况三个变量之间独立。

$H_1$: 疾病类型、治疗方式和治愈情况三个变量之间存在关联。

- 计算期望频数：

对于每个单元格，计算其期望频数 $E_{ijk}$，公式为：

$$
E_{ijk} = \frac{n_{i+} n_{+j} n_{++k}}{n}
$$

其中，$n_{i+}$ 表示第 $i$ 个水平的行边际频数，$n_{+j}$ 表示第 $j$ 个水平的列边际频数，$n_{++k}$ 表示第 $k$ 个水平的层边际频数，$n$ 表示总频数。

例如，对于第一个单元格，期望频数为：

$$
E_{111} = \frac{30 \times 41 \times 88}{130} = 69.23
$$

- 计算卡方统计量：

计算卡方统计量的公式为：

$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J \sum_{k=1}^K \frac{(O_{ijk} - E_{ijk})^2}{E_{ijk}}
$$

其中，$O_{ijk}$ 表示第 $i$ 个水平、第 $j$ 个水平和第 $k$ 个水平的实际频数。

根据数据，可以得到卡方统计量的值为 11.046，自由度为 3，p 值为 0.011，小于 0.05，因此可以认为疾病类型、治疗方式和治愈情况三个变量之间存在关联。

- 计算残差：

对于每个单元格，计算其残差 $r_{ijk}$，公式为：

$$
r_{ijk} = \frac{O_{ijk} - E_{ijk}}{\sqrt{E_{ijk}}}
$$

残差可以用来衡量实际频数与期望频数之间的偏离程度，如果残差的绝对值越大，则说明该单元格的偏离程度越大，可能存在关联性。

例如，对于第一个单元格，残差为：

$$
r_{111} = \frac{23 - 69.23}{\sqrt{69.23}} = -3.977
$$

可以看出，该单元格的实际频数远低于期望频数，说明该单元格的治愈情况与疾病类型和治疗方式之间存在关联。