统计目标字符串在母串的子序列中出现的次数

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法求解。

假设目标字符串为 $S$，母串为 $T$，我们定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示 $S$ 的前 $i$ 个字符在 $T$ 的前 $j$ 个字符中出现的次数。

根据动态规划的思想，我们可以分两种情况讨论：

1. 如果 $S_i = T_j$，则 $S$ 的前 $i$ 个字符在 $T$ 的前 $j$ 个字符中出现的次数可以分为两种情况：

- 不选 $T_j$，此时 $S$ 的前 $i$ 个字符在 $T$ 的前 $j-1$ 个字符中出现的次数，即 $dp[i][j-1]$；
- 选 $T_j$，此时 $S$ 的前 $i-1$ 个字符在 $T$ 的前 $j-1$ 个字符中出现的次数，即 $dp[i-1][j-1]$。

因此，有 $dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]$。

2. 如果 $S_i \neq T_j$，则 $S$ 的前 $i$ 个字符在 $T$ 的前 $j$ 个字符中出现的次数只能是 $dp[i][j-1]$。

综上所述，动态规划的状态转移方程为：

$$
dp[i][j] = \begin{cases}
dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1] & S_i = T_j \\
dp[i][j-1] & S_i \neq T_j
\end{cases}
$$

最终答案为 $dp[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为 $S$ 和 $T$ 的长度。

以下是 Python 代码实现：

def count_subseq(s, t):
    m, n = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for j in range(n+1):
        dp[0][j] = 1
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if s[i-1] == t[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
    return dp[m][n]

其中，$dp$ 的初始状态为 $dp[0][j] = 1$，表示空串是任何字符串的子序列。