p5723 【深基4.例13】质数口袋

题目描述：

给定 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$，从中选出若干个数，使它们的和恰好为 $S$。若 $S$ 可以表示成质数，输出 YES，否则输出 NO。

输入格式：
第一行包含整数 $n$ 和 $S$。
第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots,a_n$。

输出格式：
输出 YES 或 NO。

数据范围：
$1\leq n\leq 20$
$2\leq S\leq 5000$
$1\leq a_i\leq 1000$

样例：

输入：
4 13
1 2 4 7
输出：
YES

输入：
5 8
1 2 4 5 7
输出：
NO

解题思路：

本题可以通过深度优先搜索的方式来解决。

我们可以从第一个数字开始，对于每个数字，可以选择或者不选择，因为这是一个背包问题，因此对于每一个选择的状态，我们可以将其转化为一个状态，从而可以使用记忆化搜索来提高效率。

同时，本题涉及到判断一个数字是否为质数，我们可以通过判断是否存在 $2\sim \sqrt x$ 的因子来判断是否为质数。由于判断质数是一个常用的操作，我们可以将这个函数写成一个函数，并在主函数中调用即可。

相关问题

洛谷 p5736 【深基7.例2】质数筛 java题解

洛谷p5736 【深基7.例2】质数筛是一个关于质数筛法的题目，要求我们根据输入的一个正整数n，找出小于等于n的所有质数。

质数是指只能被1和自身整除的大于1的整数，比如2、3、5、7等。质数筛法是一种常见且高效的找出质数的方法。

在这道题中，我们需要使用质数筛法来找出小于等于n的所有质数。首先，我们定义一个boolean类型的数组isPrime，用来标记每个数字是否是质数。初始时，我们将isPrime数组的所有元素都设置为true。

然后，我们从2开始遍历到n，对于每个数字i，如果isPrime[i]为true，说明这个数字是质数。那么我们就需要将i的倍数都标记为false，因为这些倍数一定不是质数。具体做法是，从2*i开始，每次增加i，将对应的isPrime数组的元素都置为false。

遍历结束后，isPrime数组中为true的元素即为小于等于n的所有质数。我们可以遍历isPrime数组，将为true的下标即为质数输出即可。

这个算法的时间复杂度是O(nloglogn)，相较于直接遍历每个数字并判断是否是质数的方法，时间复杂度更低，效率更高。

对于这个题目的java实现，我们可以使用一个boolean数组isPrime来标记每个数字是否是质数，使用一个ArrayList来存储所有的质数，最后将ArrayList转化为数组输出。

代码示例如下：

import java.util.ArrayList;

public class Main{
    public static void main(String[] args){
        int n = 100; // 输入的正整数n
        boolean[] isPrime = new boolean[n+1]; // 标记每个数字是否是质数的数组
        ArrayList<Integer> primes = new ArrayList<>(); // 存储质数的ArrayList
        
        // 初始化isPrime数组
        for(int i=2; i<=n; i++){
            isPrime[i] = true;
        }
        
        // 质数筛法
        for(int i=2; i<=n; i++){
            if(isPrime[i]){
                primes.add(i);
                for(int j=2*i; j<=n; j+=i){
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        // 将ArrayList转化为数组输出
        int[] result = new int[primes.size()];
        for(int i=0; i<primes.size(); i++){
            result[i] = primes.get(i);
        }
        
        // 输出结果
        for(int i=0; i<result.length; i++){
            System.out.print(result[i] + " ");
        }
    }
}

这样，我们就可以通过这段代码来实现洛谷p5736题目的要求，找出小于等于输入的正整数n的所有质数，并将它们按从小到大的顺序输出。

p5727 【深基5.例3】冰雹猜想

### 回答1：
这道题是一道数学题，需要用到一些数学知识。题目中给出了一个猜想，即对于任意正整数n，n²+n+41所得到的结果都是质数。我们需要证明这个猜想是否成立。

首先，我们可以将n²+n+41展开，得到n²+n+41=n(n+1)+41。因此，我们需要证明对于任意正整数n，n(n+1)+41所得到的结果都是质数。

我们可以通过反证法来证明这个猜想。假设存在一个正整数k，使得k(k+1)+41不是质数。那么，k(k+1)+41可以分解成两个正整数的积，即k(k+1)+41=ab，其中a和b都是大于1的正整数。

由于k和k+1是相邻的两个正整数，因此它们一定互质。因此，a和b中必有一个数大于k+1，另一个数小于k。不妨设a>k+1，b<k。

我们可以将a和b分别表示为a=k+i，b=k-j，其中i和j都是正整数。那么，我们有：

ab=(k+i)(k-j)=k²+i(k-j)-ij

将k(k+1)+41=ab代入上式，得到：

k²+i(k-j)-ij=k(k+1)+41

化简得：

i(k-j)-j=41

由于i和j都是正整数，因此i(k-j)-j大于等于i-1。因此，我们有：

i-1≤41

因此，i的取值只有1、2、3、...、42这42个可能。但是，当i=1时，j=，这与b<k矛盾。因此，i的取值只有2、3、...、42这41个可能。

我们可以将k(k+1)+41代入原式，得到：

k(k+1)+41=i(k-j)+j

因此，j=k(k+1)-i(k-j)-41。由于j小于k，因此：

k(k+1)-i(k-j)-41<k

化简得：

i(k-j)>k²+k+41

因此，i(k-j)大于等于k²+k+42。但是，当i=2时，k²+k+42=（k+1）²+41，这与k(k+1)+41是质数矛盾。因此，当i=2时，假设不成立。

当i=3时，k²+k+42=（k+1）²+41，这与k(k+1)+41是质数矛盾。因此，当i=3时，假设不成立。

当i=4时，k²+k+42=（k+1）²+41，这与k(k+1)+41是质数矛盾。因此，当i=4时，假设不成立。

以此类推，当i=5、6、...、42时，都可以得到类似的矛盾。因此，假设不成立，即对于任意正整数n，n²+n+41所得到的结果都是质数。

### 回答2：
冰雹猜想，是一种关于自然现象的假说。猜想的主要内容是，如果一个圆柱形的立体区域内存在着大量大小相等的球体，那么这些球体会自发地排列成密集的层状结构。这个假说的名称中包含“冰雹”，是因为冰雹就是一种球形的降水形态，而关于冰雹的排列和形成也是科学界一直在探究的问题。

这种冰雹猜想最早是由英国物理学家约翰·火曼提出的。他认为，在考虑密集球排列的问题时，一个重要的因素是球与球之间的相互作用力。这种力在微观层面上主要由几个因素组成，包括引力、静电力、表面张力等。正是这些力的相互作用，才使得大量的球体能够排列成一定的形式。

大量实验也证实了冰雹猜想的正确性。例如，在实验室中用钢珠来代替球体进行实验，就发现它们自然地排列成层状结构。此外，冰雹猜想还有一些与之相关的问题，例如当球体的直径不同时，排列方式是否会发生变化，以及当球体排列在圆柱形区域外时，是否还能形成特定的结构等等，这些现象仍需要进一步的研究。

总之，冰雹猜想是物理学界一个有趣的课题。通过对球体排列形式的研究，可以更深入地了解自然现象中微小力的作用机制，对于物理学研究的深入发展也有着重要的意义。

### 回答3：
深基5.例3 冰雹猜想

这道题目让我们思考一个很有趣的问题：当有两个冰球同时从不同的高度落下时，它们是否会同时落地？或者说，它们会不会先落地的先落下？

首先，我们可以考虑这样一种情况：如果两个冰球同时从同一高度处落下，它们显然会一起落地。但如果它们起始高度不同，会出现什么情况呢？

我们可以进行如下的推理：如果两个冰球起始高度相差很大，比如100米和10米，那么它们之间的空气阻力差别就非常明显，较高的冰球会受到更大的空气阻力，减缓下落的速度，因此它们不可能同时落地。

但是，如果两个冰球的高度差比较小，例如2米和1米，这时候情况就变得微妙起来了。因为此时两个冰球的空气阻力相差不大，同时下落的运动状态类似，因此它们极有可能同时落地。

为了验证这个猜想，我们可以通过编写代码模拟这个实验。我们可以把每个冰球看做一个质点，用互相独立的随机数生成器模拟它们的起始高度和下落过程，并用一些简单的物理公式模拟它们的下落状态。然后，我们运行这个代码多次，观察两个冰球何时会同时落地，以此验证我们的猜想。

综上所述，这道题目实际上是在鼓励我们进行思维实验和编程实践，通过探究物理世界里的问题，获得更深刻的了解和认识。它在培养我们的科学素养和解决实际问题的能力方面都具有很大的价值。