4. 考虑线性定长时滞系统 , 给出其时滞依赖稳定性条件

线性定长时滞系统的一般形式可以表示为：

$$
\dot{x}(t)=Ax(t)+Bx(t-\tau)
$$

其中，$x(t)\in \mathbb{R}^n$ 是系统状态向量，$A$ 和 $B$ 是已知的系统矩阵，$\tau$ 是时滞，且 $0<\tau<\infty$。

时滞依赖稳定性条件可以通过 Lyapunov-Krasovskii（LK）稳定性理论得到。该理论基于将状态向量 $x(t)$ 在时滞区间 $[t-\tau,t]$ 上进行适当的插值，然后利用 Lyapunov 函数构造 Lyapunov-Krasovskii 函数来刻画系统的稳定性。

具体而言，当且仅当存在一个正定矩阵 $P\in \mathbb{R}^{n\times n}$，以及下列不等式成立时，系统是稳定的：

$$
\begin{aligned}
P A+A^\top P &<0\\
\begin{bmatrix}
P & 0\\
0 & Q
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A & B\\
0 & -A^\top
\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
A & B\\
0 & -A^\top
\end{bmatrix}^\top
\begin{bmatrix}
P & 0\\
0 & Q
\end{bmatrix}
<0
\end{aligned}
$$

其中，$Q\in \mathbb{R}^{m\times m}$ 是一个正定矩阵，且 $m$ 是输入向量 $u(t)$ 的维度。这些不等式可以通过矩阵不等式的技巧进行求解。当这些不等式成立时，线性定长时滞系统是渐进稳定的。