近似计算：逼近，插值，数值微积分的python实现

逼近：

1. 多项式逼近

使用numpy的polyfit函数可以进行多项式逼近。例如，对于一组数据点(x,y)，要进行n次多项式逼近，则可以使用以下代码：

import numpy as np

# x和y是一组数据点
n = 3   # 多项式次数
p = np.polyfit(x, y, n)  # 多项式逼近

2. 最小二乘逼近

使用scipy的optimize库的curve_fit函数可以进行最小二乘逼近。例如，对于一组数据点(x,y)，要进行函数f(x)的最小二乘逼近，则可以使用以下代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# x和y是一组数据点
def f(x, a, b, c):
    # 定义函数f(x)
    return a * np.exp(-b * x) + c

popt, pcov = curve_fit(f, x, y)  # 最小二乘逼近

插值：

1. 线性插值

使用scipy的interpolate库的interp1d函数可以进行线性插值。例如，对于一组数据点(x,y)，要进行线性插值，则可以使用以下代码：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

# x和y是一组数据点
f = interp1d(x, y, kind='linear')  # 线性插值

2. 样条插值

使用scipy的interpolate库的splrep和splev函数可以进行样条插值。例如，对于一组数据点(x,y)，要进行样条插值，则可以使用以下代码：

import numpy as np
from scipy.interpolate import splrep, splev

# x和y是一组数据点
tck = splrep(x, y)  # 样条插值
y_interpolated = splev(x_new, tck)

其中，x_new是插值后的x值。

数值微积分：

1. 求导

使用numpy的gradient函数可以进行求导。例如，对于一组数据点(x,y)，要求y的一阶导数，则可以使用以下代码：

import numpy as np

# x和y是一组数据点
dydx = np.gradient(y, x)  # 求y的一阶导数

2. 积分

使用scipy的integrate库的quad函数可以进行积分。例如，对于一组数据点(x,y)，要求y的定积分，则可以使用以下代码：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# x和y是一组数据点
y_integral, error = quad(y, x[0], x[-1])  # 求y的定积分