Hermitian Toeplitz矩阵能够被唯一范德蒙分解的条件

一个$n$阶的Hermitian Toeplitz矩阵能够被唯一的范德蒙矩阵分解，当且仅当它的主对角线元素和副对角线元素不同时为0。

具体来说，设$T$为一个$n$阶的Hermitian Toeplitz矩阵，它的主对角线元素为$a_0,a_1,...,a_{n-1}$，副对角线元素为$b_1,b_2,...,b_{n-1}$，则存在一个唯一的$n$阶范德蒙矩阵$V=[v_{i,j}]$，使得$T=V\Lambda V^H$，其中$\Lambda$是以$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为对角线元素，以$b_1,b_2,...,b_{n-1}$为副对角线元素的$n$阶对角矩阵，即$\Lambda=\operatorname{diag}(a_0,a_1,...,a_{n-1})+\operatorname{diag}(b_1,b_2,...,b_{n-1},k)$，其中$k$为任意复数。

证明如下：

首先假设$T$可以被唯一的范德蒙矩阵分解，则根据范德蒙矩阵分解的唯一性可知，$V$的第一列为$(1,0,...,0)^T$，设$V$的第$j$列为$(v_{0,j},v_{1,j},...,v_{n-1,j})^T$，则有$TV=V\Lambda$，即$(Tv)_j=\lambda_jv_j$，其中$(Tv)_j$表示$T$的第$j$列，$\lambda_j$表示$\Lambda$的第$j$个对角线元素。

由于$T$是Hermitian Toeplitz矩阵，所以有$T_{i,j}=T_{i+1,j+1}$，即$Tv_{i,j}=\lambda_iv_{i,j+1}$，又因为$T$是Hermitian矩阵，所以有$T_{i,j}=\overline{T_{j,i}}$，即$T\overline{v_{i,j}}=\overline{\lambda_j}\overline{v_{i,j}}$，所以$v_{i,j+1}=\frac{\overline{\lambda_i}}{\lambda_{j+1}}\overline{v_{i,j}}$。

因此，$V$的每一列都可以表示为$(1,\frac{\overline{\lambda_0}}{\lambda_1},\frac{\overline{\lambda_0}\overline{\lambda_1}}{\lambda_2\lambda_1},...,\frac{\overline{\lambda_0}\overline{\lambda_1}...\overline{\lambda_{n-2}}}{\lambda_{n-1}\lambda_{n-2}},\overline{c})^T$的形式，其中$c$为任意复数。

由于$V$的第一列为$(1,0,...,0)^T$，所以$c=0$，即$\Lambda$的副对角线元素为0，即$a_0,a_1,...,a_{n-1}$和$b_1,b_2,...,b_{n-1}$不同时为0。

反之，如果$a_0,a_1,...,a_{n-1}$和$b_1,b_2,...,b_{n-1}$不同时为0，则可以通过递推的方式求出$V$的每一列，从而得到唯一的范德蒙矩阵分解。