parareal 结合随机微分方程的一个算例的python

以下是一个使用Parareal方法结合随机微分方程的Python算例。

首先，我们需要导入所需的库，包括numpy、matplotlib和scipy等：

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们定义一个随机微分方程，这里我们使用一个带有随机项的简单线性方程：

def f(X, t, mu=1.0, sigma=0.1):
    return mu*X + sigma*X*np.random.normal()

其中，X是状态变量，t是时间变量，mu和sigma是常数。

然后，我们定义Parareal方法的串行求解器：

def serial_solver(X0, T, N, f):
    dt = T/N
    X = np.zeros((N+1,len(X0)))
    X[0] = X0
    for i in range(N):
        t = i*dt
        X[i+1] = X[i] + f(X[i], t)*dt
    return X

其中，X0是初始状态，T是时间长度，N是时间步数，f是我们定义的随机微分方程。

接下来，我们定义Parareal方法的并行求解器：

def parallel_solver(X0, T, N, f, P):
    dt = T/N
    X = np.zeros((N+1,len(X0)))
    X[0] = X0
    for i in range(P):
        Xi = X0.copy()
        for j in range(int(i*N/P),int((i+1)*N/P)):
            t = j*dt
            Xi = Xi + f(Xi, t)*dt
        X[int(i*N/P):int((i+1)*N/P)+1] = Xi
    return X

其中，X0、T、N和f与串行求解器相同，P是我们定义的并行度。

最后，我们定义一个测试函数，生成一个简单的带有随机项的线性随机微分方程，对其进行串行求解和并行求解，并绘制结果：

def test_parareal():
    X0 = np.array([1.0])
    T = 10.0
    N = 100
    f_ = lambda X, t: f(X, t, mu=1.0, sigma=0.1)
    serial_result = serial_solver(X0, T, N, f_)
    parallel_result = parallel_solver(X0, T, N, f_, P=4)
    t = np.linspace(0, T, N+1)
    plt.plot(t, serial_result, label='Serial')
    plt.plot(t, parallel_result, label='Parallel')
    plt.legend()
    plt.show()

现在我们可以调用测试函数进行测试了：

test_parareal()

这将生成一个带有两条曲线的图表，表示串行求解和并行求解的结果。

需要注意的是，由于随机微分方程包含随机项，因此每次运行结果都可能不同。