C++ stockham FFT算法

Stockham FFT算法是一种快速傅里叶变换（FFT）的算法，它使用了一组递归和迭代的步骤来计算FFT。C++实现Stockham FFT算法需要以下步骤：

1. 定义输入数据和输出数据数组。

2. 实现一个函数来计算蝴蝶操作，即在时域和频域之间进行数据交换。

3. 使用递归方法将输入数据分解为较小的子问题，并在每个子问题中执行蝴蝶操作。

4. 使用迭代方法利用前面的结果计算更大的问题。

5. 最后，将结果存储在输出数据数组中。

下面是一个使用Stockham FFT算法计算FFT的C++代码示例：

#include <complex>
#include <cmath>

// 计算蝴蝶操作
void butterfly(std::complex<double>* x, int N) {
    for (int i = 0; i < N / 2; ++i) {
        std::complex<double> t = x[i];
        x[i] = t + x[i + N / 2];
        x[i + N / 2] = t - x[i + N / 2];
    }
}

// 计算FFT
void fft(std::complex<double>* x, std::complex<double>* y, int N) {
    if (N == 1) {
        y[0] = x[0];
        return;
    }
    std::complex<double> wN(cos(2 * M_PI / N), sin(2 * M_PI / N));
    std::complex<double> w = 1;
    std::complex<double>* x0 = new std::complex<double>[N / 2];
    std::complex<double>* y0 = new std::complex<double>[N / 2];
    std::complex<double>* x1 = new std::complex<double>[N / 2];
    std::complex<double>* y1 = new std::complex<double>[N / 2];
    for (int i = 0; i < N / 2; ++i) {
        x0[i] = x[2 * i];
        x1[i] = x[2 * i + 1];
    }
    fft(x0, y0, N / 2);
    fft(x1, y1, N / 2);
    for (int i = 0; i < N / 2; ++i) {
        y[i] = y0[i] + w * y1[i];
        y[i + N / 2] = y0[i] - w * y1[i];
        w *= wN;
    }
    delete[] x0;
    delete[] y0;
    delete[] x1;
    delete[] y1;
    butterfly(y, N);
}

在这个示例中，我们首先定义了一个蝴蝶操作函数butterfly()来执行数据交换。然后，我们定义了一个递归函数fft()来计算FFT。在这个函数中，我们首先检查输入数据的长度是否为1，如果是，则直接将其存储在输出数据中。否则，我们使用递归方法将输入数据分解为较小的子问题，并在每个子问题中执行蝴蝶操作。然后，我们使用迭代方法计算更大的问题，并将结果存储在输出数据数组中。

在实际使用中，我们可以将输入数据长度取2的幂次方，以便更有效地执行FFT。