为什么最大子长方体问题可以用动态规划方法解决

最大子长方体问题是求一个二维矩阵中所有元素的乘积最大的子矩阵。动态规划方法可以解决该问题，具体思路如下：

1. 定义状态：设 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的元素乘积。

2. 初始化：$dp[1][1] = matrix[1][1]$，即以 $(1,1)$ 为右下角的最大子矩阵只有一个元素。

3. 状态转移方程：对于每个元素 $(i,j)$，其所在的子矩阵的最大乘积为其所在行的最大子段乘积和其所在列的最大子段乘积的乘积，即

$$
\begin{aligned}
dp[i][j] &= \max\{dp[i-1][j]\cdot matrix[i][j], dp[i][j-1]\cdot matrix[i][j], matrix[i][j]\}\\
&= \max\{\max_{k=1}^{i-1}(dp[k][j]\cdot \prod_{t=k+1}^{i}matrix[t][j]), \max_{k=1}^{j-1}(dp[i][k]\cdot \prod_{t=k+1}^{j}matrix[i][t]), matrix[i][j]\}
\end{aligned}
$$

其中，$dp[i-1][j]\cdot matrix[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵包含第 $i$ 行的元素，$dp[i][j-1]\cdot matrix[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵包含第 $j$ 列的元素，$matrix[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵只包含 $(i,j)$ 元素。

4. 最优解：最终的最大子矩阵的乘积即为 $\max_{i,j}dp[i][j]$。

以上动态规划方法的时间复杂度为 $O(n^4)$，可以通过空间优化将其降为 $O(n^3)$。